非线性发展方程解的渐近性态,尤其是当时间趋于无穷大时整体解是否收敛到某个稳态解的问题的研究,是非线性发展方程研究中的一个基本问题,自上个世纪中期以来引起了国际上一大批数学家的兴趣和关注。对于物理、生物以及工业上提出的各类非线性发展方程(组)的研究具有理论和实际上的重要意义,并有广泛的应用(例如材料学上提出的phase-field方程以及生物学上提出的chemotaxis模型等等)。　　 整体解是否收敛到平衡态,作为非线性发展方程研究的一个基本问题,最早是由Zelenyak[91]和Matano[60]分别采用不同的方法考虑了一维情形时的非线性抛物型方程,证明了如果整体解关于时间是一致有界的,则当时间趋于无穷大时,解将收敛到某个平衡态。但是,当空间维数大于等于2时情形将复杂的多。对于梯度系统,整体解对应的ω-极限集是方程对应稳态问题解集的连通紧子集。如果稳态问题解集是离散的,则易知ω-极限集是一个单点集,从而得到收敛性结果。然而,当空间维数大于1的时候,非线性发展方程对应稳态问题的解集往往不是离散的,甚至是一个连续集。例如P.Polacik&K.P.Rybakowski[68]于1996年指出当Ω为R2中的单位圆盘时,对于具有非解析的非线性项的抛物型方程,其Dirichlet初边值问题的一致有界整体解的ω-极限集与单位圆微分同胚,即不是一个单点集,从而该整体解不会收敛到某个平衡态。Simon于1983年[74]作出了一个重大突破,他证明了在高维情形下如果抛物型方程的非线性项是关于未知函数解析的,则一致有界的整体解将收敛到某个稳态点。他使用的关键工具是把关于有限维空间上解析函数的著名的Lojasiewicz不等式推广到了无限维空间上,即所谓的Lojasiewicz-Simon不等式。自此以后国际上开展了大量的研究工作致力于研究各类非线性发展方程(组)整体解当时间趋于无穷大时收敛到平衡态的问题。　　 本文的主要内容如下:　　 第一章绪论,简要回顾问题的背景,研究现状以及我们证明的思路和方法。介绍了本文考虑的问题的特点、数学上的困难以及本文的创新之处。最后,简要列举了一些必要的基本知识和常用不等式。　　 第二章,我们分两节分别考察了Cattaneo热传导模型下抛物一双曲耦合型和完全双曲型的相场方程组,分别对应相场函数没有相延迟和有相延迟的情况,证明了齐次Neumann边界条件下整体解的存在唯一性以及解收敛到平衡态的结果,并给出了收敛速率的估计。需要指出的是,对于双曲型发展方程组,由于不具备抛物型方程那样的光滑性,整体解轨道的紧性证明亦成为一个关键难点,我们对轨道进行了分解从而解决了这一问题。另一方面,Lojasiewicz-Simon的方法对于双曲型方程不能直接应用,需要针对具体问题构造相应的辅助泛函来得到收敛性结果。　　 第三章,我们研究了具有体积填充效应(volume-fillingeffect)的Chemotaxis模型,证明了整体解随时间趋于无穷大时收敛到平衡态并得到收敛速率的估计。需要指出的是,此问题中我们要考察的能量泛函在相空间上不再解析,而只是一次连续可微,其一阶导数具有和过去文献中不同的结构,Simon最初的方法不再适用。我们借助非线性泛函中极大单调算子的理论克服了这一困难,通过建立non-smooth型的Lojasiewicz-Simon不等式证明了收敛性结果,并给出了收敛速率的证明。