近些年来,小波理论在数学以及诸多科学领域都得到了长足的发展并且有着广泛的应用。作为小波理论的重要应用之一,边值问题和初边值问题的求解越来越受到许多计算数学与计算工程科学者们的高度重视。小波尺度基函数具有光滑性、正交性、紧支集等良好的性质,基于小波理论发展起来的数值方法在处理边值和初边值问题中有着独特的优势。人们不断发展了常系数边值和初边值问题的小波解法,但对于变系数边值和初边值问题的研究还没有特别深入。本文针对不同形式的变系数微分方程,基于小波理论提出了一种变系数边值和初边值问题的统一求解格式。以下是本文的主要研究成果:(1)基于已有的常系数边值问题的小波解法,本文提出了一种变系数边值问题的小波统一求解格式,并将其拓展到了二维甚至高维情形中。(2)结合基于小波理论的时间积分方法,本文提出了一种变系数初边值问题的小波统一求解格式,同样将其推广到了二维以及多维情形中。(3)通过计算一些经典算例验证了常系数边值和初边值问题的小波解法具有良好的计算精度与计算效率,并计算了等截面梁板结构的振动问题。(4)基于本文提出的求解变系数边值问题的小波解法,定量研究了变截面梁板结构的弯曲问题。(5)基于本文提出的求解变系数初边值问题的小波解法,研究了两类变截面梁的振动问题,给出了变截面梁上不同位置处以及梁上各点在某一时刻的振动情况。此外,通过对变厚度矩形板的振动问题的研究给出了薄板中点以及薄板上各点在某一时刻的振动情况。最后,我们运用此求解格式研究了一类在弹性地基上带有非线性项的变厚度矩形板的振动问题。本文中提出的变系数微分方程的小波统一解法有效地避免了复杂连接系数的计算,极大地增加了求解变系数微分方程的计算效率,并且有着极高的精度。此类求解格式能够求解不同形式的线性以及非线性的变系数微分方程,在自然科学以及工程应用领域中都有着广泛的应用。