板壳作为一类重要的工程结构,被广泛应用于航空航天工程、船舶工程、海洋工程和土木工程等领域。近年来,随着结构轻量化的需求越来越高,作为承力结构的板壳发生屈曲破坏的倾向越发明显,因此板壳结构的稳定性问题也受到持续的关注。由于理论解可以作为数值解对比的基准,快速参数分析、优化的工具,帮助人们更加深刻地理解各种力学行为,因此,对理论解的研究一直是力学领域的重要课题。本文基于辛方法和状态空间法等理论方法,系统地研究了典型板壳结构屈曲前的线性和非线性弯曲问题、分叉屈曲问题、初始后屈曲问题和缺陷敏感性问题,以期为相关结构分析和设计提供理论指导。关于矩形板结构的线性屈曲问题,利用辛叠加方法得到了四边自由板屈曲问题的新解析解;利用结合了边界连续条件的辛叠加方法,得到了侧边开裂裂纹板屈曲问题的新解析解,定量研究了裂纹长度对临界荷载的影响。以上解析解均得到了有限元方法及相关文献数值结果的验证。（第二章）关于圆柱壳的线性屈曲问题,分别从变分原理和基本方程出发,将柱壳屈曲和弯曲问题的控制方程导入了Hamilton体系,利用辛叠加方法得到了非Lévy型开口柱壳的新解析解,求解结果得到了有限元方法的验证。利用新得到的屈曲问题解析解研究了曲率对开口柱壳承载能力的影响;新得到的弯曲问题解析解为求解复杂应力状态下壳体屈曲问题提供了基础。（第三、四章）关于壳体的非线性特征值屈曲问题,针对考虑了前屈曲非线性变形的Donnell圆柱壳特征值屈曲问题,利用摄动方法将圆柱壳的非线性控制方程展开成零阶方程（前屈曲控制方程）和一阶方程（分叉屈曲控制方程）,并分别利用辛数学方法和状态空间法进行了求解。针对球壳的非线性特征值屈曲问题,基于Donnell壳理论和小应变-中等旋转壳理论,利用变分原理分别得到了两种壳理论下的球壳非线性控制方程,分别采用迭代方法和状态空间法求解了球壳的零阶方程和一阶方程,得到了球壳的非线性变形和屈曲临界荷载。基于精细积分方法,改进了状态空间法的求解格式。通过增设中间状态向量为状态传递的起始和终点向量,解决了在求解大径厚比壳体问题时因传递距离过长而出现的数值稳定性问题,有效地扩大了状态空间法适用的壳体径厚比和长径比范围,并定量研究了几何非线性对球壳临界荷载的影响。（第五章）关于板壳的初始后屈曲和缺陷敏感性问题,提出了一种“逐点摄动方法”,该方法摒弃了传统Koiter方法需要提前假设后屈曲平衡路径的做法,通过将缺陷项引入控制方程和后屈曲展开系数,利用摄动理论得到含缺陷板壳不同变形对应的荷载,因此能更加准确地预测缺陷敏感型壳体的承载能力。在含缺陷矩形板的后屈曲研究中,利用逐点摄动方法和辛数学方法得到了控制方程的显式理论解,研究了边界条件对板承载能力的影响;除了利用数值方法进行验证之外,还独立设计了实验工装和方案,进行了实验验证。在轴压柱壳的缺陷敏感性分析中,相较于传统Koiter方法,逐点摄动方法能够大幅提高对含较大缺陷壳体极限荷载的预测精度,相关结果得到了有限元Riks算法的验证。（第六章）