在研究微分方程稳定性理论中，尤其在探讨微分方程的稳定性，解的估计及有界性的过程中，积分不等式是一强有力的工具近年来，有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果。 差分方程振动性是差分方程理论中的一个十分重要的分支，它具有深刻的物理背景和数学模型。近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视。差分方程解的振动性也是差分方程解的重要性态之一，随着自然科学与生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否差分方程有振动解存在或者是否差分方程的一切解均为振动解的问题。特别是近几十年，差分方程解的振动性的研究发展得相当迅速，其中以二阶非线性差分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展。 根据内容本论文分为以下四章： 第一章概述本论文研究的主要问题， 第二章在这一章中，主要研究时滞积分不等式和其中m>n>0,主要推广和改进了赵平和徐润的结论。 第三章在这一章中，主要研究如下二阶非线性中立时滞差分方程的振动性主要通过运用Riccati变换，将给出方程的振动准则，推广了孙元功的结论。 第四章在这一章中，主要研究如下的二阶非线性中立时滞差分方程的非振动解的存在性这章将得到方程非振动解的存在性的一些充分条件，推广和改进了文程金发中的结论，从而得到了一些新的非振动结果。