本文主要研究了单变元微分多项式分解的算法及其分解唯一性问题和单变元差分多项式的分解算法。代数多项式和Ore多项式的分解是函数分解理论和符号计算中的重要课题之一，在方程求解和相应的Galois理论中有着重要应用。本文致力于将相应的结果推广到非线性微分多项式与差分多项式的分解中去。主要结果包含三个部分：　　 第一部分，给出了单变元微分多项式的复合与分解的基本性质和完整有效的分解算法。对代数和微分线性(LODO)情形，已经有很多算法来有效地实现分解，而对微分非线性的情形，在此之前只有一些理论上的分析，而没有实际可行的分解算法。本文给出的算法通过引进几种变换，将问题有效地归结为代数多项式和LODO的分解。归结过程只用到代数多项式的分解与因式分解、求解线性方程等基本运算，并且不引进新的参数。本文的部分算法在Maple上实现而且效率很高。　　 第二部分，讨论了微分多项式的极大分解问题。代数多项式的极大分解的“唯一性”与系数域和要分解多项式的次数有关，Ritt在上世纪二十年代给出了系数域为特征零且代数闭情况下的分解定理(Ritt第一和第二分解定理)。而对于微分线性的情形，早已经有Ore的非交换代数理论给出极大分解的“唯一性”定理。考虑微分多项式的极大分解之间的关系或在某种关系下的“唯一性”是微分代数中有趣而且重要的问题之一。自然地，本文期望在微分非线性的情形下，也存在着相应的结论。但是在原来自然的定义下，“唯一性”是不成立的，本文给出了反例。进一步提出了分式分解的定义，并给出了分式分解定义下分解的某些性质，讨论了它在微分代数中Luroth定理的进一步应用以及格在极大分解问题中的应用。　　 第三部分，给出了单变元差分多项式的分解算法。与微分情形相似，差分多项式的分解除了线性情形作为Ore多项式的特殊情况已经有比较多的(算法和分解理论上的)结果，非线性情形分解的研究还没有开始。提出几种归结方法，把非线性情形的分解转化为线性情形的分解，从而给出了非线性差分多项式的完整分解算法。本文提出的归结过程只用到多项式的因式分解、求解线性方程等基本运算，并且也不引进新的参数。