反散射问题作为数学物理反问题中较为经典的一类反问题,近些年来日益受到学术界的关注,其物理背景来源于对声波运动的研究。Helmholtz方程的建立对声波的研究产生了深刻的影响,于是对各类Helmholtz方程的求解,以及解的性质的研究成为了反散射问题的核心之一。本文主要研究了由球面某一开集上带有随机误差的观测数据来反演源项参数的反问题。首先,用Tikhonov正则化的思想,从带有随机误差的观测数据得到观测面上的“好的”近似函数。然后,基于Helmholtz方程的解在球面上的唯一延拓性,得到了解在球面上Cauchy数据,进而利用球面上的Cauchy数据重构源项参数的反源问题。在带有随机误差的观测数据的预处理方面,我们利用基于Tikhonov正则化的思想,得到在观测面上的好的近似函数。在唯一延拓问题方面,本文直接利用了最新的研究成果针对所研究区域的连通性讨论了唯一延拓的可行性,在理论上说明了总能通过唯一延拓使得部分的第一类边界条件开拓至全局。在反源问题方面,本文针对特定的源项分布讨论了Helmholtz方程反源问题的唯一性及稳定性,并给出具体的数值案例。从而说明了在仅给出部分第一类边界条件的情况下,Helmholtz方程反源问题的反演方法。本文主要包含以下五个内容:第一章中,首先介绍了反问题与不适定问题的历史及概念。其次介绍了目前为止与本文有关的最新研究成果,包括Helmholtz方程的Cauchy反源问题以及Helmholtz方程的解的唯一延拓问题。最后阐述了本文所研究的具体问题及研究方法和思路。第二章中,详细给出了本文需要的一定数学工具,包括几类常用的经典正则化技术、Helmholtz方程的解的性质、位势理论等。在这章的最后一节,我们给出了如何处理带有随机误差的观测数据得到一个在观测面上的“好的”近似函数。第三章中,具体讨论了Helmhotlz方程的解在球面上的唯一延拓性,包括该问题的提法、稳定性估计及算法实现。由位势理论可以将给定区域上的观测数据表示为一个关于密度函数的积分形式。将积分离散化便可得到一个线性方程组,由于该方程组的条件数通常很大,再利用Tikhonov正则化方法予以求解。从而不仅在理论上说明了Helmholtz方程的解的在球面上延拓的可行性,又通过具体的数值案例验证了结论。第四章中,首先通过位势理论及Riesz-Fredholm定理构造了Helmholtz方程在球外区域上的唯一解,从而求得了该解在球面上的法向导数值。其次研究了Helmholtz方程在球内区域上的反源问题,通过求解该反源问题即可反演出Helmholtz方程右端的源项。一般地,Helmholtz方程的反源问题具有不适定性,需要对方程右端源项加以限制。本文假定了源项为点源叠加的特定形式,利用Holmgrem定理来保证解的唯一性。关于解的稳定性,首先建立了一个将源项映射为球面上的Cauchy数据的算子,并将该反源问题归结为一个算子问题,然后通过证明该算子G（?）teaux导数的非零性来保证改解的稳定性。最后引入了合适的函数空间及该空间上的泛函建立了源项参数与Cauchy数据间的代数关系,通过选取函数空间内的不同测试函数将该代数关系体现为线性方程组。对于源项中点源个数的分布上限则加入了先验的假设,从而使得该线性方程组可解。第五章则总结了全文并提出了对Helmholtz方程反源问题研究的展望。