半经典理论作为常用的经典量子对应的研究手段,一个重要的研究方向是经典周期轨道与量子疤痕态之间的对应。量子疤痕作为波函数在经典不稳定周期轨道周围的一种反常凝聚现象,因在量子混沌和量子输运的研究中发挥着重要的作用,尤其是近年来量子疤痕可以通过扫描电势显微镜在实验上进行观测而被广泛地关注。然而,由于获得高纯度样品的难度较大,探讨杂质对样品性质的影响也成为目前比较热门的研究课题。本论文研究了具有复杂光滑势场的二维量子弹球系统,考察了疤痕态的半经典量子化条件,以期有助于理解具有杂质势的二维电子系统的电子态密度分布和输运行为。第一章介绍了本论文相关的背景知识并对论文中的基本概念,包括经典量子对应、量子疤痕、软墙量子弹球系统、无序系统等进行了阐释。第二章中,我们首先介绍了衡量经典系统混沌特性的一个特征量李雅普诺夫指数(Lyapunov)以及分析经典混沌的常用工具庞加莱截面(Poincarésection)。接着介绍了一种经典混沌的量子表现方法——能谱统计。除此之外,分别介绍了可积系统和不可积系统如何通过半经典量子化来研究经典周期轨道与量子疤痕态之间的对应。第三章主要考察了典型的软墙系统——二维谐振子在对称性破坏下出现的李萨如疤痕态的量子化条件。我们首先对该系统的弹跳球轨道对应的疤痕态进行了半经典公式验证,之后研究了由于x,y方向不同频率比而导致的多种李萨如疤痕态出现的量子化条件,并得到了很好的对应。第四章中,我们是在第三章模型的基础上加入了一个高斯势场,探究了具有复杂势场的量子弹球中疤痕态的量子化条件。系统复杂的势场分布导致了其复杂的经典动力学。我们计算了该系统的庞加莱截面,并以此对系统中的稳定周期轨道进行了分类,然后通过半经典公式将这些稳定周期轨道与其分别对应的量子疤痕态联系了起来,并给出了可能的量子化条件。第五章主要研究了一个无序系统——掺杂石墨烯,掺杂是指在紧束缚模型的基础上添加随机分布的高斯势来模拟真实的杂质分布。我们对系统的能谱统计、参与比及长度谱性质进行了分析,同时也发现在这样一个经典动力学比较杂乱的系统中,也会出现主导性的波函数,这些波函数一般对应于由于杂质分布导致的短周期轨道。第六章对本论文的主要内容进行了总结,并对之后将开展的工作做了简单的介绍。