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在第一章中,我们主要研究连续Urysohn空间。
在60年代初期,Alexander V.Arhangelskii引进了一类空间的概念,他对这类空间做了一个刻画,即度量空间在完备满射下的原像,他给这样的空间取名为仿紧p-空间。
在Arhangelskii的工作之后大约30年,Stepanova引进了一个拓扑性质,这个性质是一个仿紧p-空间可度量化的充分必要条件,她将它命名为连续Urysohn。
显然每个度量空间(X,d)拥有一个由fx,y(z)=d(x,z)定义的连续分离族。注意到这个连续分离族只是跟其中一个变量x有关系。如上所述,Stepanova给出了定理:一个仿紧p-空间是连续Urysohn的当且仅当它是可度量的。从这个时候起,连续Urysohn空间这个概念就被广泛的研究。在研究这个空间的时候,David Luatzer不知道对于一个连续Urysohn空间,是否需要两个参数都用上来定义这空间X上的连续分离族。这就引进了单参数连续分离族的概念了。
后来在2002年,L.Halbeisen和N.Hungerbühler构造了一个连续Urysohn空间,它上面的Urysohn函数,fx,y不能只由一个参数x来决定。这回答了David Lutzer提出的问题。从而自然地有一个问题:在什么条件下,一个连续Urysohn空间具有一个单参数连续分离族?我们通过证明下面一个定理来回答这个问题。
定理0.0.1
如果X是可分空间,则X有连续分离族当且仅当X有单参数连续分离族。
为了证明这个定理,我们首先证明了定理0.0.2,这个定理是H.R.Bennett和D.J.Lutzer的一篇文章中的一个结果的推广。
定理0.0.2
如果X是可分空间,则X有弱度量拓扑当且仪当X有连续分离族。
我们举出一个例子,这个例子说明存在这样的空间,在它上有连续分离族,但是没有单参数连续分离族。作为运用,我们用定理0.0.1来证明这个空间不是可分的。
第二章,我们把连续分离族放到广义序空间里面去考虑。首先给出了一些广义序空间的性质,最后我们给出一个可分空间,在它上面不存在连续分离族。从而说明了可分性在定理0.0.1当中是本质的。