卡尔达诺的《大术》在数学史上具有重要的地位,它开创了代数方程的理论研究,首次系统地给出了三、四次多项式方程的一般解法,并且最早讨论了虚数及其运算。 本文首先回顾了多项式方程代数解法的发展过程,介绍了卡尔达诺的生平、科学与数学成就以及《大术》的历史背景,然后在此基础上详细研究了《大术》各章的内容。 由于卡尔达诺没有使用数学符号,并且当时的数学传统是综合而不是分析,所以《大术》中的绝大多数法则都是算术法则,而不是代数推理过程。为了更准确地理解并定位《大术》的数学成就,本文按照吴文俊先生倡导的“古证复原”的原则分析了这些法则的代数来源。 1 分析并探源了卡尔达诺的“黄金法则”,利用卡尔达诺已经掌握的估根技巧和方程变换、方程降幂等方法,讨论了卡尔达诺关于方程正、负根个数和三次方程3个实根与二次项系数关系等结论的代数来源。并指出,这些结论的依据是代数推理,没有受到阿拉伯数学家图斯几何传统的影响。 2 利用方程变换和恒等式变形,统一分析了卡尔达诺关于方程恒等变换的一般法则和特殊法则的代数来源。虽然这些法则讨论方程的变换,但是卡尔达诺并没有指出它们依据的到底是哪种变换。本文找出了各条法则所依据的具体变换,并对它们进行了归类分析。 3 利用恒等式变形的方法统一解释了卡尔达诺关于13种三次方程一般法则的代数来源,并且利用方程变换和恒等式变形两种方法对卡尔达诺关于三、四次方程的特殊法则作了探源。 4 指出了《大术》英译本中的各种错误,并对其进行了归类分析和订正。