算子谱理论是算子理论的重要研究领域.由于物理学、量子力学、工程技术等学科中的许多问题都能够转化为算子方程（例如,代数方程、微积分方程等）的求解问题,而这类问题的求解与算子的特征值紧密相关.因此,对算子谱理论的研究将具有重要的意义.算子谱结构的研究是谱理论中的一个热门课题,充分掌握算子谱的结构特征,有助于求解算子方程等相关问题.在无限维空间中,算子的谱结构是相对复杂的,依照算子值域的闭或不闭、零度和亏数的有限或无限,学者们将谱集中的元素归类为半Fredholm谱、Eredholm谱、Weyl谱等谱子集,这些分类使得学者们对算子谱结构的研究产生了浓厚的兴趣.1909年,H.Weyl发现Hilbert空间中自伴算子的Weyl谱恰好等于该自伴算子的谱集除去有限重的孤立特征值,这一发现被学者们称作Weyl定理并且引发了他们对算子Weyl定理及其相关问题的关注.在本文中,以半Fredholm理论与局部谱理论为基础,定义了四种不同的谱子集.利用这些谱子集,对线性算子的Weyl型定理进行了等价刻画,给出了不同于传统定义的判定方法.另外,我们还研究了算子正整数次幂、算子函数演算以及算子矩阵的Weyl定理及其紧扰动下的稳定性.鉴于单值延拓性质是研究算子谱理论的重要工具,并且它与Weyl定理之间有着紧密的联系,因而,结合单值延拓性质与Weyl定理来研究算子的谱结构,也是本文的内容之一.下面对本文的主要内容做简单的叙述.第一章介绍了Weyl定理的研究背景及研究现状,对文中后续内容出现的符号与术语作了说明,并且对本文所得的主要结论作了简单的介绍.第二章研究了线性算子及其紧扰动下的Weyl型定理.通过线性算子的Weyl谱、本质逼近点谱和Saphar谱,构造出新的谱子集.利用这些谱子集对算子T及其紧扰动下的Weyl型定理进行了判定.另外,第二章还研究了算子三次幂在紧扰动下的Weyl定理,并讨论了算子T与T3的Weyl定理稳定性的关系.第三章研究了算子函数及其紧扰动下的Weyl定理.利用第二章定义的谱子集,首先对算子Tn（n为正整数）的Weyl定理稳定性进行了研究,并且验证了在特定条件下,算子T与Tn的Weyl定理稳定性是等价的.另外,利用新定义的谱子集刻画了算子函数及其紧扰动满足Weyl定理的等价条件,并证明了算子函数及其紧扰动的Weyl定理与新定义谱子集的谱映射定理之间存在着一定的联系.第四章研究了三阶上三角算子矩阵的Weyl定理稳定性与单值延拓性质稳定性.首先刻画了三阶上三角算子矩阵的Weyl定理稳定性成立的等价条件,发现三阶上三角算子矩阵的Weyl定理稳定性与对角线上的算子有着紧密的联系.其次,通过研究单值延拓性质稳定性发现,当三阶上三角算子矩阵满足单值延拓性质稳定性时,对角线上的算子也均满足单值延拓性质稳定性.最后,对两者之间的关系进行了讨论,得到了在对角线算子的谱两两不交的情况下,若两者同时成立,则对角线上的算子均同时满足Weyl定理与单值延拓性质的稳定性.