分数阶微积分的概念起源于Marquisde L’ Hospital对Gottfried Leibniz在1695年提出的一个问题,他问”如果导数n等于12,结果会是什么呢?”但是,一直到1819年，Lacroix才第一次给出了一个最简单的分数阶微积分的结果d12y12=2√xπ.　　迄今为止,常用的分数阶导数的定义大概有四种: Riemann-Liouville，Grunwald-Letnikov，Caputo，Miller-Ross Sequention分数阶导数,本文主要研究Grunwald-Letnikov分数阶导数及其性质.在最近几十年里,研究者们发现,分数阶微积分算子不同于整数阶微积分算子,且有非局部性,即一个系统的下一个状态不但依赖于它的当前状态,而且依赖于它的起始于初始时刻的历史状态.于是很适合描述现实世界中具有记忆和遗传性质的材料.相对于整数阶模型,分数阶模型堪称完美.分析表明,分数阶模型显然比整数阶模型更符合实际背景.　　本文主要研究G分数阶导数及其性质,给出了G分数阶导数的具体推导过程,展示了G分数阶导数的合理性;主要阐述了G分数阶导数的性质,与整数阶导数相同,符合线性,在f(k)(a)=0，k=(0,1,2,·，n?1)的条件下,分数阶导数和整数阶导数可以交换,并且等于它们的加和,分数阶导数也有与整数阶导数类似的Leibniz法则,并给出了分数阶微积分的一些应用;本文介绍了分数阶微分方程的一些解析解法和数值解法,解析解法有拉普拉斯变换法,傅里叶变换法,分离变量法等,而数值解法包括有限元法,有限差分法,同伦摄动法,变分迭代法等.而本文重点说明了应用Laplace变换求G-L分数阶导数微分方程的解析解.