【摘 要】
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分数阶微分方程边值问题是微分方程定性理论中一个主要分支,相关其研究理论不断完善和成熟,逐步形成了完整的理论体系,应用背景较强.在研究其相关边值问题时由于整数阶微分方程具有一定的局限性,而分数阶微分方程在实际问题中更贴合实际性,尤其是有关分数阶边值问题的研究深受关注,并得出了许多关于边值问题的新颖、准确的理论结果.本文在前期的理论研究基础之上,将普通边界条件进一步深化为测度积分边界,并针对Riema
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分数阶微分方程边值问题是微分方程定性理论中一个主要分支,相关其研究理论不断完善和成熟,逐步形成了完整的理论体系,应用背景较强.在研究其相关边值问题时由于整数阶微分方程具有一定的局限性,而分数阶微分方程在实际问题中更贴合实际性,尤其是有关分数阶边值问题的研究深受关注,并得出了许多关于边值问题的新颖、准确的理论结果.本文在前期的理论研究基础之上,将普通边界条件进一步深化为测度积分边界,并针对Riemann-Liouville、Hadamard、Caputo三种类型的分数阶微分方程分别利用单点迭代、非负矩阵、不动点定理等方法研究其解的存在性、正解及唯一性,所得出的理论结果进一步拓宽了分数阶领域的研究内容.全文分五个部分:第一部分,介绍研究内容的背景、现状和需要用到的概念、引理.第二部分,研究了具有测度积分边界条件的Riemann-Liouville分数阶微分方程极值解的存在性.此部分内容通过使用单调迭代非线性泛函分析方法和上下解,得到了极值解的存在性,并建立了新的比较原理,此研究内容丰富了该类型的极值解求解方法,为其它类型的具有测度积分边界条件的分数阶微分方程提供了良好的参考方法.第三部分,研究了具有测度积分边界条件的耦合非线性Hadamard分数阶微分方程的正解.此部分内容主要使用不动点定理以及适当的非负矩阵来描述非线性的耦合行为,得到了具有测度积分边界条件的耦合非线性Hadamard分数阶微分方程正解.此部分相对于第一部分的一般理论模型扩展到耦合的理论模型,不仅拓宽了研究问题的复杂性,而且补充了耦合模型的研究深度与广度.第四部分,研究了测度脉冲积分与混合系统相结合的Caputo分数阶微分方程解的存在性和唯一性,得到了测度脉冲积分与混合系统相结合的一种新系统的解,运用不动点定理和Leray-Schauder抉择定理证明了解的存在性与唯一性.此部分研究内容基于先前深入的研究上,发现一个复杂的系统和过程不能用一个单一的微分方程来描述,因此研究了分数阶微分方程的耦合混合系统.此部分相对于前两部分的内容更加宽泛,实际意义更强,目前对此类问题的研究相对较少,得出的理论也比较新颖,进一步丰富了边值问题的研究结果.第五部分,总结了三类具有测度积分边界的分数阶微分方程主要研究内容,以及对今后工作的展望.
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