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偏微分方程反问题是一多学科交叉，带有边缘学科性质的前沿研究课题。它在地球物理勘探、大气测量、模式识别、图像处理、无损探伤等领域有着重要的应用。本文以几类偏微分方程反问题为背景，从偏微分方程正问题的高精度求解出发，对其数值算法进行了研究，具体内容包括以下四个方面: 1.由于反问题的研究离不开高精度正问题的求解，所以本文从偏微分方程正问题的高精度求解出发，充分利用谱方法的高精度特性和有限差分法的高灵活性，给出了将谱方法和有限差分法结合，求解偏微分方程正问题的一般过程。 2.为了验证方法的有效性，并且同时解决一些实际问题，本文第三章首先利用Fourier谱方法对强非线性广义Boussinesq方程和非线性Klein-Gordon方程进行了求解，此后利用Chebyshev谱方法对一类非线性Burgers方程进行了数值求解，给出了离散过程，并进行了数值模拟，将其与文献方法所得结果进行了比较。数值模拟结果验证了方法的有效性和优越性。 3.偏微分方程反问题的求解可以归结为非线性优化问题，本文利用Gauss-Newton法求解优化问题。但是由于Gauss-Newton法强烈依赖于初始值的选取，所以本文提出在Gauss-Newton法的基础上，加入一种新型算法—PSO算法，文章利用PSO算法通用性较强、收敛速度快的特性，提出一种带有PSO算法初始猜测的Gauss-Newton法。 4.论文第四章首先利用Hermite谱方法对无界域上Benney方程的正问题进行了求解，给出了离散过程，并利用PSO算法和Gauss-Newton法的联合算法对其反问题进行了求解。然后针对大深度地震勘探问题，采用Laguerre谱方法结合所提反演方法对其弹性系数进行了反演，得到了满意的效果，同时结果表明方法对数据的随机扰动也有较好的稳定性。从而解决了Gauss-Newton法陷入局部极值的风险，同时解决了盲目的猜测初始值，减少了不必要的重复试验，节省了反演时间。最后，针对一类非线性偏微分方程组—布鲁塞尔模型，利用Fourier谱方法对其求解过程进行了离散，并利用本文所提反演方法对其相关参数进行了反演，数值模拟结果表明本文方法对于非线性偏微分方程组正问题和反问题的求解同样具有较好的效果。