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本文主要考虑量子流体力学方程(Quantum Hydrodynamic System)拟中性极限的渐近格式,方程如下аtpλ+div(pλuλ)=0,а(pλuλ)+div(pλuλ uλ)+▽pλ+pλ▽xФλ
=1/4∈2div(pλ▽2logpλ)-1/βpλuλ, （0.1)一λ2△Фλ=pλ-g(x)-1,在这个模型中有一个重要物理量:Debye长度(the Debye length),它是测量电荷不平衡的单位长度,我们所关心的是当Debye长度趋于0的情形.目前已有许多关于此系统数值格式的文献,但或多或少都有些不足.当我们使用显示格式时,时间步长和空间步长都必须足够的小以确保格式的稳定,所以计算量将相当的大.通常,有两种隐式方法：直接隐式格式和隐式动量方法,这两种方法也有许多相关文献,如文献[9].然而在使用这些方法时一些区域仍然要求小的时间步长,因此,能够克服小时间步长的方法是极为必要的.
本文中我们将提出“渐近格式”,它对大时间和空间步长是稳定的,并且在高维空间也是有效的.此外,即使此格式是隐式的,但它的计算量与显式格式是相同的,不要大的计算量.
接下来,我们介绍一下本文的框架.本文共分为三章,其中第一章为引言,介绍相关背景以及所考虑问题的物理和数学意义.在第二章中,介绍了量子流体动力系统的零Debye长度渐近模型аtpλ+div(pλuλ)=0аt(pλuλ)+div(pλuλ uλ)+▽Pλ+pλ▽xФλ
=∈2/4div(pλ▽2logpλ)-1/βpλuλ, (0.2)▽2:(pλ uλ)+△Pλ+div(pλ▽xФλ)=∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ).
和泊松方程等价形式的推导。最后得到泊松方程等价形式а2tt(-λ2△Фλ)-div(pλ▽Фλ)-λ2/βаt(△Фλ)=▽2:(pλuλ uλ)+△Pλ-∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ), (0.3)其中,▽2:为二阶导数的张量积.接着我们讨论了方程组аtpλ+div(pλuλ)=0,аt(pλuλ)+div(pλuλ uλ)+▽Pλ+pλ▽xФλ
=∈2/4div(pλ▽2logpλ)-1/βpλuλ, (0.4)а2tt(-λ2△Фλ)-div(pλ▽Фλ)-λ2/β(△Фλ)=▽2:(pλuλ uλ)+△Pλ-∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ).的时间与空间离散化,提出渐近格式pn+1k-pnk/△t+qn+1k+1-qn+1k-1/2△x=∧npnk+1-2pnk+pnk-1/△x2△x,qn+1-qnk/△t+F(Unk,Unk+1)-F(Unk-1,Unk/△x+pnkФn+1k+1-Фn+1k-1/2△x=∈2/4pnk+1(logpnk+2-2logpnk+1+logpnk)-pnk(logpnk+1-2logpnk+logpnk-1)/△x3一1/qn+1k+qnk/2,2△apФn+1k-2△apФnk+△apФn-1k/△t2-1/2β△t(1+λg(k△x)-λ2△apФn+1k)+1/2△x(pnk+1Фn+1k+2-Фn+1k/2△x-pnk-1Фn+1k-Фn+1k-2/2△x)=∈2/8△x2(△ap(logpnk+2)pnk+2-△ap(logpnk+1)pnk+1-△ap(logpnk)pnk (0.6)+△ap(logpnk-1)pnk-1)-(1/2β△x-1/△x△t)∧n-1(pn-1k+1-2pn-1k+pn-1k-1)一(1/2β△x+1/△x△t)∧n(pnk+1-2pnk+pnk-1)-1/2β△tpn-1k-1/2β△tpn-1k一1/2△x2(Fnk+3/2-Fnk+1/2)-(Fnk-1/2-Fnk-3/2)),其中,q为动量puFn(Ug,Ud)=(qg qg/pg+Pg)+(qd qd/Pd+Pd)/2+∧n(qg-qd) (0.7)Fnk+1/2=Fn((Unk,Unk+1)) (0.8)