【摘 要】
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这篇博士论文主要是把李群算法应用到偏微分方程,如铁磁链方程和不可压缩流体二维涡度方程,它能保持微分方程的平方守恒特性,又有经典算法相同的精度.其目的在于使我们对李群
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这篇博士论文主要是把李群算法应用到偏微分方程,如铁磁链方程和不可压缩流体二维涡度方程,它能保持微分方程的平方守恒特性,又有经典算法相同的精度.其目的在于使我们对李群算法有更深认识,推广了李群算法的应用范围,同时我们揭示了耦合一维非线性Schrodinger系统的多辛结构,并用Preissman格式离散,验证了多辛离散格式能长时间精确计算和保系统平方模守恒,以及所得能量在系统精确解能量附近以很小的误差摆动.RKMK方法是把Runge-Kutta方法应用到李群方程相应的李代数微分方程上,求出李代数方程的数值解,然后通过拉回作用,把李代数方程的数值解在指数映射作用下拉回到李群上.在这篇论文中我们应用RKMK方法思想构造了二阶RKMK方法和四阶RKMk方法.用二阶和四阶RKMK方法来求解铁磁链方程,不可压缩流体二维涡度方程,得出它有相应Runge-Kutta方法相同精度,还能保持方程的平方守恒特性.近来,Bridges,Marsden等人分别从不同的角度提出了多辛Hamilton方程的概念以及相应的多辛积分子.我们讨论了Bridges意义下多辛方程结构和一些多辛算法.多辛理论就是把偏微分方程的时间和空间坐标同等看待,这种观点同样可以用来构造多辛格式.论文以耦合一维非线性Schrodinger系统为例讨论了多辛方法,并得出了六点多辛格式,模拟得出了耦合一维非线性Schrodinger系统孤立子波碰撞会发生通过,反射,融合,以及新的孤立子波产生等现象.
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