石墨烯是由碳原子构成的二维单层六边形格点，自2004年发现以来，它就引起了物理学界的广泛关注，成为一个重要的基础研究方向，在石墨烯的理论研究中，学术界主要采用两个模型：紧束缚近似模型和有效质量理论，在本文中，我们分别从这两个角度讨论了不同的关于石墨烯的性质.　　 首先，以紧束缚近似为基础，本文第二章中讨论了量子群在Hofstadter问题中的循环表示，并将之推广应用到石墨烯，得到以恒定磁场中石墨烯的能量本征态为基的量子群循环表示.为了得到石墨烯中的磁平移对称性算符，本文先将石墨烯的Hamiltonian取平方，于是Hamiltonian便变成了一个三角形格点的Hamiltonian，然后将这个Hamiltonian与方形晶格的磁平移对称性比较，最终得到了石墨烯中的磁平移对称性算符.在磁平移对称性基础上，由Heisenberg-Weyl对易关系，我们进一步得到一组量子群的算符，同时我们发现了以能量本征态为基的循环表示，并根据这一表示讨论了在石墨烯中的Hofstadter问题的能级简并密度，　　 接下来的工作都是基于石墨烯的有效质量理论，本文第三章中通过对石墨烯的有效质量理论-Dirac方程的求解，讨论了包含PN结的石墨烯中电子运动的Aharonov-Bohm效应，其中电子运动的路线利用石墨烯中PN结的特性来构成一个环路，最终得到局域流密度相对于磁通的变化.在主流的研究中，关于石墨烯的Aharonov-Bohm效应一般强调两点：1)主要讨论环形的石墨烯系统，2)强调南于磁通引起的valley能量简并的破缺所导致的物理效应，与主流的研究不同的是，我们利用了石墨烯中PN结的电子负折射透镜的性质，利用几个PN结构成了电子运动的一个闭合路线，然后在中间加入磁通，从而讨论Aharonov-Bohm效应的可能性，我们的讨论结果显示了了Dirac方程的相对沦性质对Aharonov-Bohm效应的影响.　　 本文第四章根据Landauer公式，计算了含有两个势阱的石墨烯带状模型中的电导，得到由于电子经过势阱之间的区域所构成的干涉效应对电导的影响.本部分是基于Quantum-limited shot noise in graphene， Phys. Rev. Lett.96，246802(2006)的文章，存该文献中，讨论了含一个势阱的石墨烯带状模型中的电导及Fano因子(也就是电导的涨落系数)，发现在这种情况下，1)存在一个恒定的电导率，这是在普通的完美品格模型中所没有的，2)Fano因子和无序金属的相同，本文将该文献的讨论推广到两个势阱的情况，结果发现一种干涉效应：当电子波通过势阱中间的区域所获得的相位为2π时，现象和文献的一致；而当相位为π时，则得到不同的现象，这时Fano因子为0，也就是电导无涨落，同时电导以对数形式依赖于和系统形状有关的因子.