【摘 要】
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sine-Gordon（SG）方程具有丰富的几何和物理背景,是一类重要的非线性色散方程.因此,对该方程进行数值求解就是一件很有意义的事情.然而已有的算法往往是针对一维情形展开的,将这些算法推广到二维情形时,由于原有的嵌入不等式在二维情形下不再成立,导致算法在无穷范数下的最优误差估计很难得到,相关结果尚没有在文献中见到.本文对二维SG方程进行数值研究,构造了三个有限差分格式并给出了最优误差估计和收敛
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sine-Gordon（SG）方程具有丰富的几何和物理背景,是一类重要的非线性色散方程.因此,对该方程进行数值求解就是一件很有意义的事情.然而已有的算法往往是针对一维情形展开的,将这些算法推广到二维情形时,由于原有的嵌入不等式在二维情形下不再成立,导致算法在无穷范数下的最优误差估计很难得到,相关结果尚没有在文献中见到.本文对二维SG方程进行数值研究,构造了三个有限差分格式并给出了最优误差估计和收敛性证明.首先,本文将已有文献中针对一维SG方程提出的四层显式守恒差分格式推广到二维情形,证明算法在离散意义下保持原问题的能量守恒性质,同时放宽了已有收敛性结果中对网格比的限制,并在最大模意义下建立了格式的最优误差估计.接着,本文针对二维SG方程提出了一个交替方向隐式（ADI）差分格式,并且在对网格比没有任何约束下,建立了格式在最大模意义下的最优误差估计.最后,本文对二维SG方程提出了一个新的非线性守恒差分格式,证明了格式的唯一可解性及在离散意义下的守恒性质,并在对网格比没有任何要求的前提下建立了算法在最大模意义下的最优误差估计.三个格式的逐点收敛阶在时空方向都是二阶的.收敛性分析中用到的关键技术,除了能量方法之外,还包括数学归纳法等.数值算例验证了算法的误差估计和守恒性质.
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