【摘 要】
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复值Ginzburg-Landau方程是一类重要的非线性演化方程,在诸如超导、超流等众多领域有着非常广泛的应用.因此,关于复值Ginzburg-Landau方程的数值求解就是一件很有意义的事情.本文对二维情形下三次非线性复值Ginzburg-Landau方程进行数值解研究.回顾了已有文献中的两个有限差分格式并对其进行了深入的分析,得到了更为深刻的结果.具体地,已有文献中关于二维复值Ginzburg
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复值Ginzburg-Landau方程是一类重要的非线性演化方程,在诸如超导、超流等众多领域有着非常广泛的应用.因此,关于复值Ginzburg-Landau方程的数值求解就是一件很有意义的事情.本文对二维情形下三次非线性复值Ginzburg-Landau方程进行数值解研究.回顾了已有文献中的两个有限差分格式并对其进行了深入的分析,得到了更为深刻的结果.具体地,已有文献中关于二维复值Ginzburg-Landau方程的有限差分格式的收敛性分析,要么对网格比有较为苛刻的要求,要么只有离散L~2范数下的误差估计.利用这些文献中的分析技巧,难以在对网格比没有要求的前提下,得到算法在最大模意义下的最优误差估计.本文的主要研究工作主要包含如下两个方面:首先,对复值GL方程的一个线性化有限差分格式进行了深入分析,运用能量分析方法结合数学归纳法和抬升技巧,在对网格比没有任何要求的前提下,建立了算法在最大模意义下的最优误差估计.证明了格式在最大模意义下时间方向和空间方向精度都是2阶收敛的.其次,对一个非线性有限差分格式格式进行了深入分析.讨论了非线性格式解的存在唯一性；然后运用能量分析方法和cut-off技巧结合抬升技巧,建立了格式最大模意义下的最优误差估计,证明了算法在时空两个方向都具有2阶精度.最后通过数值算例,对误差估计进行了验证.
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