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Schr5dinger 方程(NLS)是现代科学中具有普遍意义的重要方程之一,它在非线性光学、量子力学、等离子物理、流体力学中有着广泛的应用.Burgers方程也是流体力学中一个很重要的方程,它在非线性波、气体动力学、激波及连续随机过程等众多领域都有着广泛的应用.目前,很多作者都研究了这两类方程的数值解和精确解.本文研究了非线性及线性Schrodinger方程和Burgers方程的紧差分格式.
首先,第一章分析了非线性Schrodinger方程的紧差分格式.
在这一章中,首先介绍了非线性Schrodinger方程数值解法的研究现状,回顾了前人的研究成果.第三节构造了紧差分格式,证明了该格式可以保证离散电荷和离散能守恒.用能量方法证明了差分格式的收敛性和稳定性,其收敛阶为O(τ<2>+h<4>).然后给出了数值算例,通过在每一个时间层上迭代求解非线性方程组,得到了数值解.通过数值算例与已有的差分格式进行比较,结果表明,本章所提出的格式,相比以前的差分格式,计算精度有了较大的提高,并且紧格式可以保证离散电荷和离散能守恒.
其次,第二章分析了线性Schrodinger方程的差分格式.
本章利用待定系数法,构造了三种两层隐式差分格式,其截断误差分别为O(τ<2>+h<4>)及O(τ<2>+h<6>),其中一种格式为紧差分格式.最后的数值算例表明本文构造的差分格式是有效的,但是相对而言,紧格式计算简单,且具有相对较高的精度.
最后,第三章分析了Burgers方程的紧差分格式.
在这一章中,前两节介绍了Burgers方程数值解法的研究现状及本章主要研究内容.通过Hope-Cole变换,可以把Burgers方程转化为线性热传导方程.然后对热传导方程构造了紧格式,截断误差为O(τ<2>+h<4>).通过数值实验与已有的差分格式进行比较,结果表明,本章所提出的格式,相比以往的格式,计算精度也提高了许多.这说明计算结果与理论分析相符合,本章的格式是有效的.