【摘 要】
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在本文中,我们首先叙述和总结分析了有关Radon变换的一些结果,包括其在某些变换下的性质,值域特性,采样理论等。在研究Radon变换的反演方法的基础上,运用调和分析理论,如傅立叶分析理论,以及泛函分析理论,来研究Radon型广义变换的逼近重构方法,主要包括两类特殊的Radon型广义变换:指数型Radon变换与多项式型广义Radon变换。讨论了它们各自的逼近反演重构问题,得到的主要结果有:
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在本文中,我们首先叙述和总结分析了有关Radon变换的一些结果,包括其在某些变换下的性质,值域特性,采样理论等。在研究Radon变换的反演方法的基础上,运用调和分析理论,如傅立叶分析理论,以及泛函分析理论,来研究Radon型广义变换的逼近重构方法,主要包括两类特殊的Radon型广义变换:指数型Radon变换与多项式型广义Radon变换。讨论了它们各自的逼近反演重构问题,得到的主要结果有: （1）我们讨论了指数型Radon变换的数值反演问题:在傅立叶级数理论的条件下,将重构的密度函数与其指数型Radon变换关于各自变量展开成傅立叶级数,通过寻找两个傅立叶级数之间对应的傅立叶系数间的关系,来达到反演的目的,并通过数值模拟加以了验证。 （2）我们创新地讨论了多项式型广义Radon变换的奇异值分解问题:本文研究的多项式型广义Radon变换的权函数不同于Xu Yuan等人研究的多项式权,本文中的,其中是物体的衰减系数,为平面上点x与球面上单位向量ω的内积。将其看成到空间的线性算子后,利用构造法,得到了它的奇异值分解,从而在此基础上进一步得到了它的逼近重构公式。这也是本文创新点之一。 本文分为如下几部分: 第一章我们叙述和归纳了Radon变换的有关结论和广义Radon变换的研究现状及发展趋势;完善了部分结论; 第二章我们给出了必要的预备知识; 第三章我们讨论了指数型Radon变换的数值反演问题。 第四章我们研究了多项式型广义Radon变换的奇异值分解问题.
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