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本文主要研究回复性、不交性、有限IP独立对、∞-步幂零系统、以及幂零系统的复杂性和刚性性质。具体安排如下:
在序言中,我们将简单回顾下拓扑动力系统和遍历理论的一些背景知识,并介绍下本文主要结论的研究背景以及研究成果.
在第一章中,我们将介绍本文涉及的拓扑动力系统和遍历理论的基础知识.
在第二章中,我们探讨了回复性和不交性,我们证明了distal点稠密的弱混合系统不交于所有极小系统,部分回答了Furstenberg不交性问题,同时也是这方面研究的最新结果.此外,我们还研究了Furstenberg关于弱乘积回复点的刻画问题,以及回复性,不交性,弱不交性三者之间的关系.具体来说,点x∈X被称为系统(X,T)的回复点,是指存在正整数序列ni→∞,使得Tnix→x;被称为乘积回复点,是指对任意回复点y,(x,y)为回复点;被称为弱乘积回复点,是指对任意极小点y,(x,y)为回复点.Furstenberg己指出乘积回复点即为distal点,我们将证明弱乘积回复点的闭包包含稠密的极小点,并且不交于所有极小系统的传递系统的传递点必为弱乘积回复点.此外,我们还研究了更一般的族回复性和族乘积回复性,我们将证明piecewisesyndetic-乘积回复点必为极小点.最后,我们将研究Furstenberg不交性问题,以及更一般的不交性与弱不交性.我们将证明distal点稠密的弱混合系统、syndetic-独立的系统均不交于所有极小系统.此外,我们将指出极小点稠密的弱混合系统不交于所有极小PI系统,不交于所有极小弱混合系统的传递系统必拥有稠密的极小点.
在第三章中,我们将介绍幂零系统,并且简单回顾下Host-Kra为了证明遍历平均定理而引入的最大幂零因子,通常被称为Host-Kra因子.为了方便本文的研究,我们将给出一些约化和讨论.
在第四章中,我们将引入∞-步幂零系统,并指出它即为极小幂零系统的逆极限,为了更好地刻画∞-步幂零系统,我们引入有限IP独立对,指出极小distal系统为∞-步幂零系统当且仅当它不包含非平凡的有限IP独立对,更进一步,我们将证明不包含非平凡有限IP独立对的极小系统为它的最大∞-步幂零因子的几乎一对一扩充.为了得到上述结论,我们将引入高阶局部proximal对,并且给出它与有限IP独立对,与最大∞-步幂零因子之间的关系,我们还将探讨Host-Kra因子与有限IP独立对的关系,进而证明,对于不包含非平凡有限IP独立对的极小系统,若赋予它一个遍历测度,那么这个遍历系统为它自身的Host-Kra因子的逆极限.
在第五章中,我们将证明,作为等度连续系统某种意义上的推广,幂零系统的复杂性为多项式的,即对于幂零系统的每个开覆盖,这个开覆盖的复杂性函数被某个正系数多项式所控制,进而可知幂零系统相对是比较稳定的.然而,我们将指出非等度连续的极小幂零系统以及非Kronecker的遍历幂零系统均不可能为刚性的,所以幂零系统又不太稳定.更进一步,∞-步幂零系统的复杂性也为多项式的.此外,还将证明极小刚性系统的最大∞-步幂零因子即为它的最大等度连续因子,遍历刚性系统的最大∞-步幂零因子即为它的Kronecker因子。