本论文分为两个部分.第一部分(第一章、第二章、第三章、第四章)主要讨论利用变分方法去除图像噪声的问题.第二部分(第五章、第六章、第七章、第八章)我们研究对于二次矩阵方程在一组条件下的保结构加倍算法. 随着科学技术的发展，数字图像在科学研究及人们的日常生活中的作用越来越突出.而在各类研究领域中图像噪声的种类也越来越多，如何有效的处理被噪声污染的图像是目前一个引人关注的问题.人们喜欢用最小二乘法即L2范数描述这个问题.但是对于服从重尾分布的噪声，使用L1范数，对于问题将会有更好的结果. 在第二章中，我们考虑了正则化模型对于服从拉普拉斯分布的加性噪声的图像去噪效果.同时，根据Rudin-Osher-Fatemi的模型提出的方法，我们将模型转化为一个带约束的优化问题，给出了正则化参数的选取方法.对于新的模型，我们利用差分方法进行求解，得到了较好的数值效果. 在第三章中，我们利用原有的变分模型，以及保边缘正则化函数，对于服从拉普拉斯分布的乘性噪声提出了变分模型.利用该模型，我们比较有效地对被这类噪声污染的图像进行了去噪处理.数值例子说明了我们方法的有效性. 在第四章中，我们根据利用变分方法去除拉普拉斯乘性噪声的结果进行分析，提出了利用自适应中央权重中值滤波结合全变分方法，以进一步处理上一章恢复的图像.这种方法取得了一定的数值效果. 二次矩阵方程有丰富的应用背景，其中一组条件来自于排队论的研究.如何能够有效快速地求解二次矩阵方程是一个重要的问题. 在第五章中，我们回顾了二次矩阵方程这组条件的来源. 在第六章中，我们给出了在这组条件下二次矩阵方程的保结构加倍变换. 在第七章中，我们给出了数值算例，并与两种线性方法进行了比较，得到了较好的数值效果. 在第八章中，我们对全文作了一个总结，简要阐述了一些研究成果，并提出了一些我们在研究中遇到而又没有能够完全解决的问题.