近年来,对孤子现象的研究成为非线性科学的一个重要研究方向,孤子理论也被广泛应用到磁流体学、生物学、量子力学、光学等诸多领域。孤子方程的求解也成为国内外科学家的研究重点。其中,代数几何方法和对非线性方程进行对称约化并求解都可以深刻的描述许多物理现象,具有重要的应用价值。本文主要研究孤子方程的代数几何解和对非线性方程对称约化,具体内容如下:1简单叙述孤子理论的发展概况、可积系统的可积性研究以及几种孤子解的构造方法及其应用。2主要介绍求解代数几何解过程中应用到的基础知识,如:Riemann曲面、θ函数、Abel微分等。3通过给定的李代数,构造一组离散谱算子,利用零曲率方程可以得到可积系统的方程簇,再根据迹恒等式来建立相应方程族的Hamilton结构。接下来,定义超椭圆曲线,并产生Riemann面,引入椭圆坐标并构造Able微分,使相应的流在Riemann面上拉直,得到方程族的位势的显式黎曼θ函数表示,即方程的代数孤子解。4由一组新的李代数和给定的谱问题出发,利用零曲率方程和Lenard序列可推导出三个可解的常微分方程。接着,通过引入阿贝尔映射和黎曼-雅可比反演定理,构造了新的椭圆坐标,并对离散流进行校正,在新的离散Lax对的基础上,利用黎曼曲面求出方程只包含指数函数的初等显式解。5 Clarkson-Kruskal直接法是一种简单的对称约化方法,C-K法可以避免讨论任何复杂的群论知识,并且还能得到方程的几乎所有的相似解。应用Clarkson-Kruskal直接法可以求得长水波方程的相似变量和相似解,求得的结果还包含了经典李群法所求得的结果。