科学和工程中的许多问题可归结为外部问题，例如：流体力学中大量存在的障碍问题等。求解此类问题的最简单的方法是设定一个人工边界，加上人工边界条件，然后在有限子区域中用通常的数值方法求解，例如，有限差分方法、有限元方法或者有界区域上的谱方法等。然而，这种区域截断的办法必然会带来相应的误差。因此，需要研究直接计算外部问题的高精度算法。　　 此外，在一个标准的变分形式中，我们通常是将Neumann边界条件作为自然边界条件来处理。但这样做会导致刚度矩阵为满阵。因此，我们需要发展一种新的方法，使得刚度矩阵为n次对角阵。　　 本论文主要目的是发展以下两种方法：1、外部问题的混合Fourier-广义Jacobi有理谱方法；2、精确满足Neumann边界条件的广义Jacobi有理谱方法。　　 论文由以下三个部分组成。在第一章，我们简单地回顾了外部问题以及Neumann数值方法的一些背景，同时概述了本文研究工作的动机。　　 在第二章，我们首先介绍了广义Jacobi有理函数的一些基本性质，建立了Fourier-广义Jacobi有理函数的混合正交逼近理论，并针对外部问题构造了相应的混合谱格式，证明了格式的收敛性。特别地，通过选取适当的基函数，对应的线性代数方程组的系数矩阵是对称阵且是若干对角阵。因此，我们可以有效地求解它们。数值结果表明了该算法是行之有效的。　　 在第三章，我们研究精确满足Neumann边界条件的第二类边界问题的广义Jacobi有理谱方法。我们给出了广义Jacobi有理逼近的一些结果，并针对一维和二维有关问题构造了相应的混合谱格式，证明了格式的收敛性。特别地，通过选取适当的基函数，相应的刚度矩阵和质量矩阵都是若干对角阵。因此，我们可以有效地求解它们。数值结果同样表明了该算法是有效地。