【摘 要】
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张量的特征值在自动控制、谱超图理论、量子纠缠、核磁共振成像、高阶Markov链等领域中有着广泛的应用.计算高阶张量的特征对（即特征值和特征向量）等价于求解一个齐次或非齐次非线性方程组的非平凡解.然而,当张量的阶数和维数很大时,计算它的特征值及对应的特征向量往往是比较困难的.因此,研究张量特征对的估计和高性能算法具有十分重要的意义.本论文主要研究了不可约非负张量Z-特征对的估计和计算（弱）对称张量广
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张量的特征值在自动控制、谱超图理论、量子纠缠、核磁共振成像、高阶Markov链等领域中有着广泛的应用.计算高阶张量的特征对（即特征值和特征向量）等价于求解一个齐次或非齐次非线性方程组的非平凡解.然而,当张量的阶数和维数很大时,计算它的特征值及对应的特征向量往往是比较困难的.因此,研究张量特征对的估计和高性能算法具有十分重要的意义.本论文主要研究了不可约非负张量Z-特征对的估计和计算（弱）对称张量广义特征对和Z-特征对的数值方法.具体内容如下:首先,给出了不可约（弱对称）非负张量的Z-特征向量和Z-谱半径的下界和上界,并且证明了这些界优于文献[Linear Algebra Appl.483:182-199,2015]中给出的界.同时我们也给出了一般张量Z1-特征值的上界.数值例子验证了我们所提出的这些界比现有的界更紧并且是最优的.其次,研究了对称张量Z-特征对的计算问题.我们将计算对称张量的Z-特征对问题等价地转化为求解一个非线性方程组的非零解问题,提出了修正的归一化牛顿方法（MNNM）.在适当的条件下,证明了MNNM方法的局部三次收敛性,极大地改进了文献[SIAM J.Matrix Anal.Appl.,39:1071-1094,2018]中具有二次收敛的牛顿修正方法和正交的牛顿修正方法.作为该算法的应用,我们计算了与量子物理中的量子纠缠问题密切相关的复值对称张量的US-特征对.数值实验表明了该算法的有效性和优越性.再次,我们提出了计算弱对称张量广义特征对的谱残差方法（SREIG）,并在适当条件下证明了它的全局收敛性.数值结果表明SREIG方法比文献[Comput.Optim.Appl.66:285-307,2017]中的谱梯度投影方法更有效,并且在不同的初始值下,多次运行时能够找到更多（甚至所有）的广义特征对.最后,为了提高上述SREIG方法的收敛速率,基于前面提到的MNNM方法我们把计算对称张量的广义特征对问题等价地转化为求解非线性方程组的非零解问题,提出了归一化牛顿方法（NNMEIG）.在广义γ-牛顿稳定的条件下（该条件保证了这个非线性方程组Jacobian矩阵的非奇异性）,证明了NNMEIG方法的局部二次收敛性.然而,一般情况下,Jacobian矩阵的非奇异性这一要求比较强.为此,我们提出了计算对称张量广义特征对的修正的Levenberg-Marquardt方法（MLMEIG）,并在弱于Jacobian矩阵非奇异的局部误差界的条件下,证明了MLMEIG方法的局部二次收敛性.数值结果表明这两种算法比SREIG方法和其它已有的方法更具有竞争性和有效性.
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