图的连通性理论是图论学科重要而基础的研究领域。通过该领域的研究，人们对图的结构和性质有了进一步的认识，并且将所得到的结果应用于网络设计等实际问题中，取得了很多应用成果。图的连通性研究所具有的理论和实际意义，激发了很多图论专家的兴趣。长期以来，人们围绕图的点连通度、边连通度、局部点(边)连通度开展了大量的研究工作，也取得了许多深刻的理论成果。 随着研究的深入，人们发现上述参数仅反映了系统被毁坏的难易，而很难准确反映系统被毁坏的程度。于是，人们开始摸索研究图的连通性的新途径。在1988年，贾晓峰等人提出了一个新的图类——处处h-可断图。设h是一个正整数。若S是图G的一个(顶点)极小割集，且|S|≤h，则称S是图G的一个下h-割集。若对于每个顶点v，∈V(G)，至少存在一个下h-割集S，使得顶点v∈S，则称图G是一个处处h-可断图。新图类的提出为广泛图类中图的最大边数，最大团等问题的解决提供了新的途径。从处处h-可断图的提出到目前为止，贾晓峰等人对该类图进行了较深入的研究，尤其是在最大团问题方面，取得了较好的结果。 本文对处处h-可断图的(顶点)极小割集进行了分类：设G是一个处处h-可断图，S是G的下h-割集，且G中无其它下h-割集与S交叉，则称S是图G的A类割集。否则称其为图G的B类割集。在此分类及前人研究结果的基础上，文章讨论了与处处h-可断图连通性及递归证明相关的新问题——可加边问题，并在这个问题的启发下引入了刻画处处h-可断图的连通性的新参数——图的完整度。它既反映了将处处h-可断图从(顶点)极小割集拆分开的难易，又反映了该图被拆分的程度。而在一个网络中，这个参数不仅反映了网络被毁坏的难易，而且也能反映网络被毁坏的程度。所以，对处处h-可断图的可加边问题及其完整度的研究有比较重要的理论和实际意义。 第一部分，在阐述图的连通性问题的研究现状及进展的同时，分析了以往图的连通性研究方法的局限性，论证了处处h-可断图和处处h-可断图的完整度两个概念的提出对图的连通性研究的理论意义。 第二部分，给出了关于图的(顶点)极小割集的一些研究结果。这些结果是我们对处处h-可断图的连通性展开研究的基石。 第三部分，主要讨论了在A类割集是割点和A类割集不是割点且不是完全图两种情况下处处h-可断图的可加边问题，论证了处处h-可断图可加边的存在性，给出了刻画处处h-图的结构特性的两个充分条件。 第四部分，研究了处处h-可断图的完整度及其与图的其它一些参数的关系，并对处处h-可断图的完整度进行了界的估计。 第五部分，在总结全文的基础上，探讨了进一步的研究工作。