本研究分为四个部分：第一章,介绍了相关的背景和一些预备知识；第二章,首先定义了辛道路关于任意两个拉格朗口子空间的(L,L)-指标理论，并且得到了该指标和Galerkin逼近,鞍点约化的关系。作为该指标的应用,我们考虑渐进哈密顿系统解的存在性和多重性,其中包括任意两个拉格朗日边值解,闸解以及Sturm-Liouville问题.我们得到了一系列的结果；第三章,考虑一类抽象算子方程的解,并将其应用在一阶和二阶哈密顿系统某种边值解的存在件和多重性上；第四章,把闸轨道的定义扩展到具有某种对称性的辛流形上(我们称之为“对称辛流形”)，然后对于这种对称辛流形,我们定义了所谓的“对称辛容量”。通过这种对称辛容量,我们证明了一系列关于能量面上闸轨道的存在性定理。其中的一个可以表述为：对于给定的φ切触型对称能量面,若其有紧邻域,并且该紧邻域有有限的对称辛容量,则该能量面上至少存在一个闸轨道。