本文主要研究了三个问题:带点源的双曲型方程反系数问题、带奇异势的变系数热传导方程的零控问题、带奇异势的变系数热传导方程的反系数问题。本论文的第二章的主要结果是:给定方程(?)12u(x,t)-Δu(x,t)+q(x)u(x,t)=δ5(x,t)以及u|t<0=0,可以通过一些边界数据去估计上述方程的未知系数q(x),x∈Ω,其中Ω(?)(x1,x2,x3)∈R3|x1>0}是一个有界区域,ST={(x,t)|x∈(?)Ω,|x|<t<T+|x|},n=n(x)是(?)Ω的单位外法向量。对于一个合适的T>0,我们得到了 Lipschitz稳定性估计。其中uk是上述方程分别对应于q=qk时的解,fk和gk是对应于uk的边界观测数据,k=1,2。本章结果与已知文献里结果不同的是,本章的稳定性结果里只需要假设一个系数|q2|足够小即可。不一样的原因在于,本章在证明上述反系数问题稳定性时是在已知文献[20]中§4.4的引理4.4.4基础之上引入一个带有参数s的权函数,得到一个Carleman估计。然后在用它去证明反系数问题稳定性时,可以用s的高阶项去控制s的低阶项,从而不需要假设|q1|充分小。也就是说,相对于以前的结果所需要的条件之一减弱了。只是本章的稳定性定理需要T满足:T>2r+4(2x10+r)/β.与文献[20]的条件T>4r(见本章第六部分)相比,我们得观测时间变长了。在引理2.1的基础上,再结合我们所讨论的问题(2.1)的解的一些性质(包括本章第二部分的引理2.2、2.3),就可以找到某个合适的s,从而找到合适的C,使得上述李普西斯稳定性估计成立。本论文的第三章里主要讨论的是主部系数是变系数且带有奇异逆平方势的热传导方程的零能控。讨论的热传导方程的形式为:(?)1u(x,t)-div(p(x)(?)u(x,μ/|x|2u(x,t)=f(x,t),x∈Ω,0<t<T。这里,μ是一个正实常数,研究的区域的边界足够光滑并且0∈Ω。在以往研究该问题的正问题的文献如Goldstein和Zhang[29]中指出了当0≤μ≤P1(n-2)2/4时,该问题是适定的,且给出了正问题解的存在性和唯一性。Ervedoza[17]给出了上述问题在p(x)=1时的零控结果,并指出了只要μ≤μ*都可以做到零控,这里μ*=(n-2)2/4。本章我们指出当0≤μ<(p12/p2)(n-2)2)(n-2)2/4时问题可零控。这里的常数满足:0<p1≤p(x)≤p2,(?)x∈Ω。这里,我们结合了 Ervedoza[17]和Vancostenoble[55]两篇文章中的的证明方法,即选取一个合适的权函数引入参数s和λ得到一个新的Carleman估计,从而得到一个能观不等式。最后再根据经典的HUM方法可得到零控的结果,即对于任一个不包含0点的内部区域ω,我们可以找到定义在其内的源项函数f(x),使得u(x,T)=0。另外,我们还指出了当μ>p2(n-2)2/4时,我们不能得到上述控制结果,除非0 ∈ ω。本论文的第四章主要讨论的是主部系数是变系数且带有奇异逆平方势的热传导方程的系数唯一性以及稳定性估计。热传导方程的形式为:atu(x,t)-div(P(x)Vu(x,t))-(μ/|x|2)u(x,t)=0,x∈Ω2,0<t<T。这里,μ是一个实常数,P(x)∈5未知,研究的区域的边界足够光滑并且0 ∈Ω。在上章里,我们讨论了它的零能控性,同时也说明了它的正问题解的存在性,这里我们讨论它的反系数问题。我们定义容许集B={P(x)∈ C3(Ω);M1≤P(x)≤M2,‖(?)P‖C(Ω))》≤M3}。我们的结果是关于利用一下边界数据(?)tu(x,t),(?)t2u(x,t),(x,t)∈Ω×(tO,T)和(?)·(P(?)u(·,T0))+|x|2/μu(·,To)来反推出未知系数 P(x),x∈Ω＼{o}。这里 T0=(t0+T)/2,(?)0<t0<T,ω是Ω中不含原点的任意开子集。我们用基于Carleman估计的方法证明了反系数问题的一个局部估计的结果。这个证明过程类似于Yamamoto M.[61]文章的第六小节,在那里,作者研究的是不带奇异逆平方势的经典热传导方程。