Helmholtz问题的平均源边界节点法研究

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声学问题出现在高速火车噪音、医学超声、水下声纳、声学斗篷、声子晶体、地震波等众多科学和工程领域,目前数值模拟已成为研究此类问题的一个非常重要的手段。然而,传统的数值方法在数值模拟此类问题时,面临着许多困难。作为区域型主流算法的有限元和有限差分法,在处理无限域声场时一般需要引入非反射人工边界或完美匹配层等边界截断技术,影响了算法的精度和稳定性。和区域型离散算法比,边界元法使用满足声场控制方程和无穷远Sommerfeld辐射边界条件的基本解,因此避免了人工截断边界,且仅需边界离散,实现问题的降维处理,数值离散矩阵较小,减少了计算准备工作。这使得边界元法在处理散射声场问题时比有限元等区域型离散方法有独特的优势。然而,边界元法也有其局限性:复杂曲面网格划分费时费力、数值积分计算量大、对于波数稍大的问题,计算效率较低。  最近作者导师针对稳定温度场问题,提出了一种新的边界型无网格法—平均源边界节点法。该法建立在耦合规则化边界积分方程和平均源技术,是一种纯边界节点方法,不需要计算积分,具有简单、高效、精确高等特点。此外,平均源边界节点法充分继承了边界元法的优点,保持系统稳定,自然满足声场无穷远Sommerfeld辐射边界条件,使得它非常适合求解散射声场问题。本文将是平均源边界节点法在声学问题的第一次尝试。  众所周知,对于声场外问题,边界积分方程涉及唯一性问题。表现为对应于Dirichlet(Neumann)内问题的特征波数,Neumann(Neumann)外问题的边界积分方程没有唯一解。对于直接边界元法,克服此问题的方法主要有CHIEF和Burton-Miller法;对于间接边界元法,主要有CHIEF和Leis法。本文基于Leis公式导出Helmholtz问题的“完全”规则化间接变量边界积分方程。在此基础上,利用平均源技术,建立了Helmholtz问题的平均源边界节点法的理论和方法。该方法离散网格仅仅是为了计算单元面积和雅克比,不涉及单元和数值积分的概念,是一种真正的无网格法。大量的2D及3D的声辐射、散射算例的数值结果表明,本文方法具有程序设计简单,计算效率高及结果精度好等优点。
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