【摘 要】
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本文研究了时间-空间分数阶扩散方程（TSFDE）的反向问题,即通过所研究物理量u在t＞0时刻的测量数据u（x,t）反过来求解u在t=0时刻的数据u（x,0）.此问题的解决对环境治理、生物医学等多方面的发展具有重大意义.但由于此问题具有不适定性,反演结果不能稳定地依赖于输入数据.因此要想取得较好的反演结果,需要用到一些技巧.目前常用的有几种正则化方法,由于这些方法无法兼顾非常光滑与不光滑的情形,因此
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本文研究了时间-空间分数阶扩散方程（TSFDE）的反向问题,即通过所研究物理量u在t＞0时刻的测量数据u（x,t）反过来求解u在t=0时刻的数据u（x,0）.此问题的解决对环境治理、生物医学等多方面的发展具有重大意义.但由于此问题具有不适定性,反演结果不能稳定地依赖于输入数据.因此要想取得较好的反演结果,需要用到一些技巧.目前常用的有几种正则化方法,由于这些方法无法兼顾非常光滑与不光滑的情形,因此本文构造了两种正则化方法来处理此问题.本文首先在预备知识部分说明了 TSFDE反向问题的不适定性,接下来分别构造了一种分数阶Tikhonov正则化方法（FTRM）与一种拟边界值正则化方法（QBVRM）求解了此不适定问题,分别得到了对应的初始时刻的正则化解.两种正则化方法的理论部分分别都计算了带有扰动的正则化解与其所对应的初始时刻精确数据之间的先验误差估计和后验误差估计,所得结论分别描述为两个定理的形式.从结果来看,两种正则化方法都得到了较高的收敛阶.两种正则化方法的数值部分分别通过带有扰动的终值数据uδ（x,T）利用理论部分得到的正则化解表达式和正逆Fourier变换得到了初始时刻的正则化解.其中正则化参数β都是通过后验选取规则及二分法进行自动选取的.两种正则化方法中我们都分析了问题中各个参数对反演结果的影响,并以表格或者图表的形式进行了展示.并在文中对两种正则化方法求解此TSFDE反向问题从理论与数值结果两方面进行了对比分析.为了得到终值数据u（x,T）,本文数值部分首先利用有限差分法求解了一维和二维情形的TSFDE正向问题.文中所使用的两个二维有限差分格式是本文首次构造出来的,因此给出了其稳定性分析.两种正则化方法的一维和二维情形下的光滑和不光滑的例子所得计算结果都与理论部分的分析基本吻合,说明了我们理论方法的有效性及稳定性.最后由于TSFDE二维正向问题计算缓慢且占用内存较大,因此我们构造了一个基于快速Fourier变换（FFT）的快速预处理共轭梯度算法（FPCG）来求解二维正向问题,并在文中给出其详细计算步骤.算例部分分别计算了二维光滑与不光滑的例子,通过与原有限差分矩阵-向量乘积计算方法所用计算时间以及精度进行对比分析说明了我们提出的算法的有效性.
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