玻色-爱因斯坦凝聚态(Bose-Einstein condensate)是当玻色子原子冷却到接近绝对零度时,所呈现出的一种气态的、超流性的物质状态。关于BEC的理论和数值方法引起了国内外学者的关注,计算BEC的基态、第一激发态以及动力学特性是BEC研究的基本问题。经典的非线性Schr?dinger方程,也被称为Gross-Pitaevskii方程,已广泛用于描述BECs的基态和动力学特性。本文从BEC问题出发,采用加权偏移的Grünwald-Letnikov差分法(WSGD)和积分因子方法研究了带有三种不同势阱的分数阶拉普拉斯算子的玻色—爱因斯坦凝聚态,利用二阶中心差分方法和Krylov子空间求解了自旋轨道耦合的玻色-爱因斯坦凝聚态(SOC BEC)。结合数值分析,验证了离散格式能量递降的性质。数值实验展示了不同参数对整体系统的影响。第一章介绍了玻色-爱因斯坦凝聚态的基本概念,并叙述了其发展历史和实际应用。第二章介绍了三种高效率的数值方法,并探讨了每种数值方法的精度,效率及其稳定性。第三章研究了带有三种不同势阱的分数阶拉普拉斯算子的玻色—爱因斯坦凝聚态,首先使用归一化梯度流的方法将分数阶玻色-爱因斯坦凝聚态的基态问题转化为求解分数阶Gross-Pitaevskii方程的最小能量问题。利用WSGD方法进行空间离散,离散结果为一个常微分方程组,具有二阶精度并且无条件稳定。时间离散方面采用了积分因子方法,计算精度高、存储量小、效率高。第四章探讨了自旋轨道耦合的基态(SOC BEC)问题。应用二阶中心差分方法,得到了一个半离散的常微分方程组。时间离散方面,对非线性相互作用项进行整合,得到线性化的微分方程。为了有效地求解指数矩阵,将Krylov子空间逼近应用于矩阵指数算子,计算效率高,CPU存储量小,稳定性强。数值算例展示了SOC BEC的基态情况,并对比了不同参数对SOC BEC的基态密度的影响。