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本论文围绕流形的分析性质与拓扑性质，系统地研究了f-Laplacian的特征值估计与几类流形的刚性问题，主要结果如下:*
第一，给出了加权流形上f-Laplacian第一特征值λ1的一致下界.在N-Bakry-EmeryRicci曲率RicNf≥K(K∈R)时，该下界的结果不但覆盖了传统的Laplace算子第一特征值的现有结论（只需取N=0），而且适用于更加广泛的空间—N-quasi-Einstein流形和一般的加权流形.当RicNf具有负下界时，我们证明了关于λ1估计的杨洪苍猜测.此外，对一般的Bakry-(E)meryRicci张量Ricf，给出了满足Ricf≥K(K∈R)的闭流形（包含梯度Ricci孤子）上λi的最优下界;利用此下界，我们得到紧致收缩型Ricci孤子的直径估计.
第二，对梯度Yamabe孤子的数量曲率进行估计，获得了最优的下界，并给出达到下界时流形的例子;得到了梯度Yamabe孤子的势函数估计，证明了这类流形的刚性定理.此外，本文构造出稳定的拟梯度Yamabe孤子的例子，给出拟梯度Yamabe孤子的数量曲率下界与刚性结果.
第三，证明了任意维Bach-平坦完备非紧流形的刚性定理.该定理不但推广了备受关注的四维Bach-平坦流形的结果，且适用于任意维Bach-平坦流形.第四，对于具有调和曲率的Riemann流形，通过构造新的估计函数，我们得到了其刚性定理.