奇异值分解是计量心理学，统计学，信号处理，控制论和系统论中广泛使用的数学工具，无论是进行矩阵分析还是开展数值计算，奇异值分解都起着非常重要的作用。本文简短回顾了奇异值分解的历史，列举了八种常用的广义奇异值分解，总结了这些广义奇异值分解的计算方法和若干理论上的应用。本文在已有工作的基础上，通过使用这些不同类型的广义奇异值分解，系统地研究了含有两个矩阵或含有三个矩阵的矩阵表达式，矩阵方程，矩阵乘积以及分块矩阵的广义逆的代数结构，并由此获得了各种各样的代数性质。　　 本文共分六章：　　 第一章介绍矩阵奇异值分解的历史，列举了如下八种常用的广义奇异值分解，总结了这些广义奇异值分解的计算以及在若干理论问题中的应用。八种常用的广义奇异值分解如下：　　 (1)矩阵对的Q-SVD.　　 (2)矩阵对的P-SVD.　　 (3)矩阵对的标准相关分解CCD。　　 (4)矩阵三元组的QQ-SVD.　　 (5)矩阵三元组的PP-SVD.　　 (6)矩阵三元组的PQ-SVD.　　 (7)带有Hermitian矩阵的矩阵对的H-SVD.　　 (8)具有相容维数的任意个矩阵的GSVD.　　 第二章研究矩阵表达式A-BXC和A-BX-YC的极值秩。通过使用三元矩阵组(C，A，B)的QQ-SVD，我们找到了挑选矩阵X或X和Y使得矩阵表达式A-BXC和A-BX-YC达到它的极大秩和极小秩的方法，彻底解决了文献[83]中提出的这一挑战性问题。作为这些结果的应用，我们研究了与此相关的两类矩阵方程的定秩求解问题。　　 第三章研究对称矩阵表达式A-BXB*和A-BX±X*B*的极值秩。通过使用带有Hermitian矩阵的矩阵对的H-SVD，我们研究了对称矩阵表达式A-BXB*和A-BX±X*B*的秩结构，证明了文献[88]中的两个猜测，获得了对称型矩阵方程的新的求解公式。　　 第四章研究三个矩阵乘积的混合广义逆的反序问题。通过使用三元矩阵组(A，B，C)的PP-SVD，我们成功地将Wibker，Howe and Gilbert在文献[101]中得到的关于两个矩阵乘积的混合广义逆的反序律推广到三个矩阵。进一步地我们利用n个矩阵的GSVD将上述反序律问题推广到n个矩阵乘积的情形，从而完整地解决了此类混合广义逆的反序问题。　　 第五章研究带有广义逆的矩阵乘积的不变性问题，该问题有着深刻的统计学背景。我们使用矩阵三元组(A，B，C)的QQ-SVD，细致地分析了乘积AB{1}C的各种不变性成立的充分必要条件，对已有的结果给出了新的证明，并得到了许多新的结果。　　 第六章研究行块矩阵和基本加边矩阵的广义逆。通过使用矩阵对(A，B)的QSVD分解和CCD分解，我们给出了行块矩阵广义逆的结构，解决了文献[87]中提出的两个公开问题。对于基本加边矩阵[ABB*O]，我们使用矩阵对(A，B)的H-SVD研究了它的广义逆的结构，获得了一系列新的性质。