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考虑带Navier边界条件的(p.q)双调和系统△(|△u|p-2△u)=λFu(x,u,v)+μGu(x,u,v),x∈Ω,{△(|△v|q-2△v)=λFv(x,u,v)+μGv(x,u,v),x∈Ω,(Psys)u=△u=v=△v=0,x∈δΩ,其中λ,μ∈[0,+(∞)),Ω(C)RN(N≥1)是一个非空有界开集有足够光滑的边界(δ)Ω.P＞max{1.N/2),q＞max{1,N/2),F,G:Ω×R×R→是这样的函数:F(.,s,f).G(.,s.f)对所有的(s.t)∈(R)×(R)在Ω中是可测的并且F(X,·,·),g(x,·,·)对a.e.x∈Ω在R×R是连续可微的.fi表示F对I求偏导,I=u,v,对G也一样.
我们的定理如下.定理1.假设r2＞r1＞0.使得B(xo,r2)c Q并且存在四个正常数c,d,γ和β其中γ＜P,β＜q,dpθp1/p-dqθq2/q＞c/pq,其中θ1,θ2由方程(2.10)和(2.11),如果还存在一个函数n∈L1(Ω)使得(j1),F(x,s,t)≥0对a.e.x∈ΩB((x0,γ1)和所有(s,t)∈[0,d]×[0,d];(j2)(dpσp1/p+dqσq2/q)m(Ω)sup(x,s,t)∈Ω×A F(x,s,t)＜c/pq∫B(x0,r1)F(x,d,d)dx,其中A={(s.t)||s|p/p+|t|q/q≤c/pq}和σ1,σ2由方程(2.8),(2.9)给出,(j3)F(x,s,t)≤a(x)(1+|s|γ+|t|β)对a.e.x∈Ω和所有(s,t)∈(R)×(R).则存在一个开区间∧(C-)[0.+(∞))和一个正实数ρ有下面的性质:对每个λ∈∧和Carathéodory函数G:Ω×R×R→R,满足(j4)sup{|s|≤δ,|t|≤δ}(|Gu(·,s,t)|+|Gv(·,s,t)|)∈L1(Ω),对所有δ＞0,存在δ＞0使得,对每个μ∈[0.δ],问题(Psys)至少有三个解,并且他们在X中范数小于ρ.
如果N=1,我们可以得到比定理1更好的结果.为了简单起见固定Ω=]0,1[,p＞1,q＞1.我们有下面的结果.
定理2.令F:R2→R是一个C1函数并且假设存在五个正常数c,d,a,γ,β其中(32d)p/2Kp+(32d)q/2Kq＞c/pq.K由方程(2.1)给出,使得(m1)F(s,t)≥0对所有的(s.t)∈[0.d]×[0,d];(m2){(32d)p/2Kp+(32d)q/2K}sup(s,t)∈A F(s,t)＜c/2pqF(d,d),其中A={(s,t)||s|p/p+|t|q/q≤c/pq},(m3)F(s,t)≤a(1+|s|γ+|t|β)对所有的(s,t)∈R×R.则存在一个开区间∧(C-)[0.+(∞)和一个K-实数ρ有下面的性质:对每个λ∈∧和Carathéodory函数G:Ω×R×R→R.满足(M4)sup{|s|≤ζ,|t|≤ζ}(|Gu(·,s.t)|+Gv(·,s.t)|)∈L1(Ω),对所有的ζ＞0,存在δ＞0使得对每个μ∈[0,δ],问题[(|u"|p-2u")"=λFu(u,v)+μGu(x,u,v),x∈]0,1[,(|v"|q-2v")"=λFv(u,v)+μGv(x,u,v),x∈]0.1[,u(0)-u(1)=u"(0)-u"(1)=0.V(0)-v(1)=v"(0)=v"(1)=0.至少有三个解在空间W2,p(0.1)∩W-,p0(0,1)×W2,q(0.1)∩W1,q0(0,1)中,并且它们的范数小于ρ.
考虑下面的四阶拟线性椭圆方程{△(|△u|p(x)-2△u)=λ|u|p(x)-2u+f(x,u)x∈Ω(P)u=△u=0 X∈(δΩ.其中Ω是RN中有足够光滑边界δΩ的有界开区域.N≥1.△(|△u}p(x)-2△u),是p(x)双调和算子,λ≤0,p是-Ω上连续函数且具有性质infx∈-Ωp(x)＞1.F:Ω×R→R是一个Carathéodory函数,记p∈C(-Ω),1＜p-=minx∈-Ωp(x)≤p+=maxx∈-Ωp(x)＜+(∞).进一步的,p*2(x)={Np(x)/N2p(x)p(x)＜N/2,(∞)p(x)≥N/2,像很多文章中一样表示临界指数.首先我们对函数,做下面的假设.(H1)|f(x,t)|≤a+b|t|a(x)-1对所有的(x,t)∈Ω×Ｒ.当a,b≥0和1＜a(x)＜p*2(x).(H2)lim|t|→(∝)f(x,t)t/|t|p+=+∞对a.e.x∈Ω一致成立.(H3)存在一个常数θ≥1.使得对任伺s∈[0,1]和t∈R,不等式θF(x,f)≥F(x,st)对a.e.x∈Ω成立,其中F=f(x,t)t-p+F(x,t).(H4)f(x.t)=o(|t|p+-1)当t→0和当a-＞p+时,对x∈Ω一致成立.
我们有下面的结果.
定理3.如果f满足(H1)-(H4),则对所有的λ≤0.问题(P)至少有一个非平凡解.接下来.如果函数f是奇函数.我们可以得到无穷多对非平凡解.
定理4.假设f满足条件(H1)-(H3)和下面的条件(H5)f(x,-t)=-f(x,t),x∈Ω.t∈R.则对所有的λ≤0.问题(P)有无穷多对弱解.如果,p(x)=p.并且λ=0对于问题(P).我们可以得到更弱的条件.更确切的说,我们将研究下面的方程{△(|△u|p-2△u)=f(x,u)x∈Ω,u=△u=0
现在我们给出另一个结果.它是关于P双调和方程的.
定理5.假设f(x,t)满足(H1)f对于p双调和方程,令a(x)是一个常数),(H3)和下面的条件成立.(H6)存在δ＞0和-λ∈]λ1.-λ[,使得λ1|t|p≤pF(x,t)≤-λ|t|p,对所有的|t|≤δ,对a.e.x∈Ω和t∈R;(H7)lim|t|→+∝f(x,t)/tf.=(∞)对a.e.x∈Ω一致成立.则问题(P)至少有一个非平凡解.
在问题(F)中.如果我们令p=2.也就是我们考虑下面的方程.
{△2u=f(x,u)x∈Ω.U=△u=0 x∈(δΩ).考虑f(x,f)满足(H1),(H7)并丢掉条件(H2),得到关于方程(F")的无穷多个非平凡解.(H8)limt→0 f(x,t)/t=+(∞).
定理6.假设f(x,t)满足(H1),(H5)和(H8),问题(P")得到一序列非平凡弱解{un},其中当n→(∞)时在X中un→0.