重新开始的GMRES算法是求解大型非对称线性方程组最为流行的方法之一.传统上认为,由于迭代过程的重新开始,先前GMRES循环所得到的信息会丢失,如Krylov子空间基的正交关系,从而导致算法收敛速度下降.为了改善残量的收敛速度,可以在算法重新开始时保留一些前次迭代循环的信息.比较常用的办法是在Krylov子空间中加入 个极小调和Ritz值所对应的调和Ritz向量,形成带特征向量的重新开始GMRES算法.数值试验表明,在计算量大致相等的情况下,带特征向量的重新开始GMRES算法往往比一般的重新开始GMRES算法具有更高的收敛率. 最近,重新开始GMRES算法的补足收敛性质引起了人们的兴趣.补足收敛性质是指,GMRES算法在重新开始时并不会完全丢失前次迭代循环的信息,在迭代残量的收敛过程中,相继的GMRES循环能够形成一种相互补足的关系.本文通过分析带特征向量的重新开始GMRES算法中有关调和Ritz值的数据,研究了这一算法的补足收敛性质.结果表明,在整个算法过程中,随着迭代步数的增加,所加入的调和Ritz向量将逐步使得方程组系数矩阵的 个极小特征值得到很好地逼近.这一过程类似于求解特征值问题的一种斜投影Krylov子空间方法.同时,算法的残量在除去这 个特征值的其它特征值方向上呈现补足收敛行为.带特征向量重新开始GMRES算法的收敛速度由此得到改善. 本文最后根据重新开始GMRES算法的补足循环性质,提出了带有效特征向量的重新开始GMRES算法.对于带特征向量的重新开始GMRES算法来说,第一步是执行普通GMRES迭代,得到所需调和Ritz向量.而对于新算法来说,第一步则是在重新开始GMRES算法的一次补足循环中求得最有效的调和Ritz对.由于有效调和Ritz值对极小 个特征值的更好逼近,残量的收敛能够得到进一步改善.