论文部分内容阅读
该文主要是用组合的方法(映射与对合)证明一些著名的分拆恒等式,主要包括了下面的组合恒等式:欧拉分拆定理、Ramanujan恒等式、雅克比三重积公式、雅克比恒等式、欧拉五角数定理、高斯恒等式、五重积公式和 Andrews-Olsson 分拆定理。通常,我们先用分拆语言将恒等式转化为分拆恒等式,然后用图像来表示分拆,再使用各种组合工具将一种分拆变成另一种分拆,给出了分拆恒等式的组合证明。
本文共分为五章。
第一章主要是介绍分拆的概念。特别提出两个处理分拆的方法:分拆的图像表示;分拆的生成函数。
欧拉分拆定理是分拆理论的基石。正如我们所见,该定理预示着许多更深的结果,其中最著名的恒等式为Rogers—Ramanujan恒等式。许多著名数学家,例如Sylvester、Fine和Glaisher都曾研究过欧拉分拆定理,分别得到了Sylvester 限制,两个Fine限制,Glaisher限制和Bousquet—Mélou-Eriksson限制。
在第二章中,通过构造新的映射,我们得到了一个包含Glaisher限制和Bousquet—Mélou—Eriksson限制的三个变量的限制。最后我们还考虑欧拉分拆定理的推广。
第三章主要是讨论出自《Ramanujans Lost Notebooks))的两个恒等式的组合证明。通过引进一个新的概念“根分拆”,我们将两个Rmnanujan恒等式转化为两个新的分拆等式,而这两个分拆等式可以看成为带权重的欧拉分拆定理。结合两个已知的组合映射,我们给出了这两个分拆等式的证明,从而解决了美国科学院院士George E.Andrews在《数学进展》上提出的公开问题,此问题于2001年再次被英国数学家Robin Chapman提出。
第四章主要是研究雅克比三重积公式和雅克比恒等式。第一部分主要是研究雅克比三重积公式,给出了Wright映射与Zolnowsky对合。并且通过限制Wright映射,得到了雅克比三重积公式的有限形式。在本章的第二部分,我们通过构造对合给出雅克比恒等式一个新的组合证明;通过限制我们的对合,得到了雅克比恒等式的有限形式,该有限形式包含了Hirschhorn的一个结果。作为雅克比恒等式的应用,我们给出了由Berkovich和Garvan提出的分拆同余限制的一个新的证明。
为了给出分拆同余的组合解释,Dyson给出了一个漂亮并且简单的映射,该映射是建立在秩至多为r+1,权重为n的分拆集合与秩至少为r-1,权重为n+r的分拆集合。
在第五章,通过重新定义一些特殊分拆的秩,我们推广了Dyson映射,从而给出欧拉五角数定理、高斯恒等式和五重积公式的组合证明。