本文分两部分：分形插值函数和基于分形插值函数的图像压缩. 分形学作为一门新的学科在许多领域都得到了广泛的应用，本文将讨论分形插值函数，它作为一种新的插值拟合方法，在曲线拟合尤其是震荡十分剧烈的曲线的拟合上面有着独特的优势.第一章首先介绍了双曲迭代函数系，分形插值函数系，并简要介绍了分形插值函数的Holder属性.第二章将文献中关于分形插值函数的误差方面的结果推广到非等距情况和分块分形插值的情况，首先讨论了一类函数方程的解，接下来以这类函数方程为工具，分析了分形插值函数Lg与被插值函数g之间的误差，得到误差在n足够大时近似地为ε(N，n)或(ε)(N，n)(分块的情况).在对分形插值函数与被插值函数的误差的分析的基础上，第三章给出了解分形插值中的反问题的一个新的方法. 图像压缩对于信息的存储和传输是很重要的，图像压缩方法之一是以分形学中的拼贴定理为理论基础，构造离散局部迭代函数系，但这种方法的编码过程要耗费很多的时间，另一种方法是利用分形插值函数进行编码，该方法快速、压缩比高，但清晰度不够好.本文第四章首先介绍Peano曲线的构造过程，并利用该曲线的特点得到了图像的Peano扫描方法.通过Peano扫描，将图像唯一地对应于一个一元连续函数g(x)，对g(x)按照第三章的所得到的解分块分形插值反问题的新的方法进行拟合，得到了一种既快速、压缩比高，同时又具有较好的清晰度的图像压缩方法.