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从组合学的观点来看,Coxeter群最显著的方面之一是某种偏序结构在这个理论中占有的重要地位.在研究Coxeter群和序关系深入的组合与几何性质中,Bruhat序所起到的作用是唯一的.研究Bruhat序问题具有重要的理论意义.近五六十年来有大量文献和结论得出.它涉及到组合学的很多领域.2005年,Bjorner和Brenti[2]对于对称群上的Bruhat序作了详尽的阐述.它是研究群的表示论,李代数,Weyl群的一个有力工具,产生了大量好的结果.
关于各种Cxeter群上的Bruhat序的判别方法有许多好的结果得出,并得到了广泛的应用.而这些判别方法应用在对称群上,又产生了许多很好的结果.1977年,Deodhar[10]得出关于任意Coxeter群的Bruhat序的判别方法.在此基础上,1996年Bjorner和Brenti[3]得出判别对称群上的Bruhat序关系的改进方法.本文通过直接的组合方法,给出这个结论的一个直接证明.另外,根据对称群中元素的矩阵表示,并结合改进的判别方法,本文得到关于Bruhat序关系新的判别方法.
本文最后一章将对Hardy-Littlewood-Polya不等式等各种著名的重排不等式加以总结.
本文安排如下:
1.第一章主要介绍了Coxeter群和Brhat序的基本概念和相关的结论.
2.第二章讨论对称群上的Bruhat序的判别方法,着重给出改进的判别方法的直接证明和新的判别方法.
3.第三章重点将Bruhat序应用于各种重排不等式,并介绍几种改良重排不等式的一般性方法.