【摘 要】
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时间分布阶微分方程常用于描述一些扩散指数随时间变化的复杂过程,如加速亚扩散过程等,目前已经在诸多领域发挥着重要作用,成为国际学术界的热门研究课题.但是分布阶算子所具有的复杂性和非局部性使得求解分布阶微分方程的精确解困难重重,因此学者们转而求其数值解,并取得了重要进展.在众多算法中,有限元方法以其较强的区域适应性、更灵活的网格剖分、更低的光滑性要求以及较强的通用性等显著优势,备受学者们的青睐.本文研
【基金项目】
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国家自然科学基金（11761053,11661058）,内蒙古自然科学基金（2020MS01003）； “草原英才”,“草原英才”工程青年创新创业人才； 自治区高等学校青年科技英才支持计划（NJYT-17-A07）；
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时间分布阶微分方程常用于描述一些扩散指数随时间变化的复杂过程,如加速亚扩散过程等,目前已经在诸多领域发挥着重要作用,成为国际学术界的热门研究课题.但是分布阶算子所具有的复杂性和非局部性使得求解分布阶微分方程的精确解困难重重,因此学者们转而求其数值解,并取得了重要进展.在众多算法中,有限元方法以其较强的区域适应性、更灵活的网格剖分、更低的光滑性要求以及较强的通用性等显著优势,备受学者们的青睐.本文研究了时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法,重点讨论了H1-Galerkin混合有限元（GMFE）方法、两层网格有限元方法和交替方向隐式（ADI）有限元方法.具体的研究内容概括为以下几个部分:第一部分,使用基于二阶σ格式的H1-Galerkin混合有限元方法数值求解带有非线性项的时间分布阶反应扩散模型.时间方向上使用二阶σ格式逼近,空间方向上采用混合元算法进行离散,进而形成全离散格式.文中详细给出了格式的稳定性证明,并推导了未知函数p及中间辅助函数u在L2范数下的最优误差估计.最后用数值算例给出格式在时间和空间上的误差和收敛阶,可以看到时间和空间方向均达到最优阶,与理论分析结果一致,验证了理论分析结果的正确性.同时通过数值图像可以看到数值解与精确解的图像吻合,这说明我们给出的H1-GMFE方法对于求解非线性时间分布阶偏微分方程是有效的.第二部分,通过建立基于加权移位Grunwald差分（WSGD）算子的两层网格ADI有限元格式数值求解二维非线性时间分布阶反应扩散方程.使用WSGD算子结合数值求积公式对时间分布阶导数进行逼近,进一步形成非线性时间分布阶反应扩散模型的两层网格ADI有限元全离散格式.文中给出了数值格式的稳定性分析和误差估计的推导过程,得到了空间方向的二阶收敛精度.该方法降低了分布阶微分方程的维度、减少了存储空间并提高了计算效率.根据数值算例可以看出数值格式在空间方向上为二阶收敛,符合理论分析结果.同时,根据数值解与精确解的对比图,可以看到图像是相吻合的,这表明该算法可以有效的数值求解非线性时间分布阶反应扩散方程.第三部分,首次讨论了使用基于移位分数阶梯形公式（SFTR）的ADI有限元方法求解非线性时间分布阶反应扩散耦合系统.我们用SFTR结合数值求积公式逼近时间分布阶导数,进一步形成非线性分布阶反应扩散耦合系统的ADI有限元全离散格式.文中详细证明了格式的稳定性并借助投影算子得到了未知函数u和v的误差估计结果.理论分析和数值计算结果均显示,基于SFTR的ADI有限元算法可以在空间方向上达到最优收敛阶.该方法可以有效地降低对存储量的巨大需求,提高计算效率.
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