大部分工程实际问题都可用高维非线性系统来描述，它的复杂动力学、分叉和混沌动力学研究是目前国际上非线性动力学领域的前沿课题，受到相关人员的广泛关注。目前研究高维非线性动力学系统的理论方法还不是很多，国际上处于发展阶段，国内尚处于起步阶段，因此发展处理高维非线性动力学系统的理论方法是非常重要和迫切的。　　本学位论文将同伦分析方法推广到高维非线性动力学系统的研究中，利用该方法研究了具有精确解多自由度系统、多自由度强非线性耦合van der Pol型振子、两自由度强非线性耦合van der Pol-Duffing振子、非自治薄板系统和强非线性大幅振动系统的周期解，并利用数值方法验证了理论分析结果的正确性。论文的研究内容及取得的创新性成果有以下几个方面：　　(1)给出了多自由度非线性系统同伦分析方法的一般理论及两种改进形式，介绍了帕德逼近等加速级数解收敛的技巧，同时证明了收敛定理。　　(2)运用四个例子，证实了同伦分析方法对多自由度线性和非线性动力学系统的有效性和精确性。同伦分析方法的基本思想从根本上区别于其它现有的分析方法，该方法提供了一种精妙的手段来控制级数解的收敛性。　　(3)以三角函数为基函数，利用同伦分析方法得到了两自由度强非线性耦合vander Pol振子和三自由度耦合van der Pol-Duffing振子周期解的解析近似。与传统摄动方法不同，该方法在处理动力学方程时不依赖于小参数的存在，对强非线性问题也有效。它通过引入收敛控制参数h，提供了一个简单的途径来确保级数解的收敛性。根据均方根误差最小，得到了两自由度耦合van der Pol振子在两组不同参数下收敛控制参数的最佳值。数值计算的结果显示了同伦分析方法在处理这类多自由度耦合振子时的有效性。　　(4)利用同伦分析方法研究了一类耦合van der Pol-Duffing型振子的精确逼近分析解。针对α1≠α2，β1≠β2和γ1≠γ2这三种不同参数的情况，讨论了两自由度耦合van der Pol-Duffing振子周期解的逼近问题，以展现同伦分析方法的有效性和精确性。首先，通过调节辅助参数壳确保级数解的收敛，并研究了频率、振幅与各参数之间的关系。然后，计算了频率ω的近似值和解x1(t)，x2(t)的表达式，同时还对近似解和数值解进行了比较，得到即使时间t处于一个较大的范围，同伦分析方法求得的周期解与数值解依然吻合得很好。　　(5)对同伦分析方法作了改进，利用两个收敛控制参数调节级数解的收敛性，应用改进的同伦分析方法得到了多自由度非线性非自治系统的精确逼近分析解。利用参数激励和外激励联合作用下非自治薄板系统说明了该方法的有效性和巨大潜力，同时显示了这种方法在处理具体问题时，相对于传统的同伦分析方法表现出的优越性。另外，我们用两自由度耦合van der Pol-Duffing振子说明了该方法对自治系统也是有效的。　　(6)建立了具有惯性和静态非线性项的强非线性大幅振动Duffing型系统的近似解析解。这类问题的模型对应于一个具有集中质量弹性支撑梁的强非线性振动系统。同时考虑不可伸展条件以及简化的拉格朗日方法，从梁模型的控制方程得到了单自由度常微分方程。通过引入同伦分析方法，建立渐近分析逼近来解决五阶非线性瞬态问题。在这一研究框架下，非线性系统的频率和周期解都能得到确切和系统的阐述。最后，将同伦分析和数值积分方法得到的结果之间进行比较，并选择了一些算例来验证这种方法的精确性和正确性。