拓扑学主要研究空间在同胚映射下的拓扑不变性质,其中分离性是拓扑学中一个重要的课题,可以用来描述拓扑空间中不交的集合或者不同的点之间的关系.过去,分离性比较差的T0空间缺乏自然的应用,人们认为研究的意义不大,直到domain理论的出现,它把拓扑学和计算机科学联系了起来,分离性比较差的T0空间的研究才真正地引起人们的重视.Scott引入的偏序集上的一种拓扑:Scott拓扑,就是一类自然的T0空间.与之相比,度量空间是分离性质十分好的拓扑空间.Edalat和Heckmann建立了度量空间和domain理论之间的一些联系.对于度量空间（X,d）,他们通过形式球定义了一个连续的偏序集（BX,（?））使得X同胚于BX的极大点之集,其中BX的极大点之集上赋予相对Scott拓扑.因为domain的极大点空间上的相对Scott拓扑同胚于一些分离性质较好的拓扑空间.所以,domain理论自然和度量空间有着千丝万缕的联系.函数空间的拓扑性质是众多数学分支中的一个重要的课题.特别地,Ascoli定理的几种叙述给出了赋予典型拓扑的函数空间的一个子集紧致的若干个充分必要条件.随着无限维拓扑的发展,人们发现了这些函数空间的一些拓扑结构.因为函数空间太多,所以人们把函数空间按照拓扑同胚去分类.在一些分离性质较好的空间上的函数空间中,有的同胚于著名的无限维拓扑空间—Hilbert空间Q,也有的同胚于Q的某个子集,如Σ,c0等,也有的同胚于可分的Hilbert空间（?）2.半个多世纪以来,国内外很多学者在函数空间和超空间的研究,取得了比较丰富的结果.本文主要研究偏序集的所有闭区间之集在反包含序下的一系列性质,得到偏序集有闭区间domain的一个充分条件;提出拟恰当性的概念,并研究与弱domain、拟连续的domain相关的一些性质;此外,还研究了动力系统中传递映射之集构成的函数空间的拓扑结构.我们考虑对一般的偏序集P,其所有闭区间之集IP,赋予反包含序.首先,讨论了IP上与远小于关系相关的诸多性质.其次,给出了IP成为一个domain的充分必要条件.利用这个结果,对于满足这种条件的偏序集,证明它有一个由闭区间构成的domain模型.这些内容推广了Martin和Panangaden的结果.后面,定义了双Scott连续映射,并且给出了极大点空间之间的双Scott连续映射的Scott连续扩张的两个充分条件.此外,还讨论与闭区间有关的若干拓扑,以及这些拓扑之间的关系.我们还考虑了弱domain和拟连续domain相关的一些弱化性质,并作出了这两类domain的共同推广——拟恰当的dcpo.首先,定义偏序集中两个非空子集之间的弱way-below关系,以及拟恰当的偏序集.其次,探讨拟恰当的偏序集与拟连续domain、弱domain之间的一些关系.此外,引入弱way-below有限决定拓扑,并研究该拓扑与Scott拓扑、以及Mushburn首次提出的弱way-below拓扑之间的一些联系.我们还证明了对于任意的dcpo,如果它既是拟恰当的、适度交连续并且弱way-below关系弱增,那么它是domain.这个结果与用交连续性和拟连续性去刻画domain非常相似.最后考虑闭区间偏序集上的远小于关系,讨论对于满足什么条件的偏序集,证明其闭区间偏序集成为一个domain.关于函数空间的拓扑结构首先证明了度量空间成为绝对收缩核的一个充分条件.设C（I）是I=[0,1]上所有到自身的连续映射之集,赋予一致收敛拓扑.如果映射f∈C（I）满足对任意非空子集U,V∈I,存在正整数n使得U∩f-n（V）=（?）,那么称f是传递映射.所有传递映射之集,记作T（I）,它在空间C（I）中的闭包记作T（I）.其次,我们利用Kolyada等人的一些结果,证明了一个主要定理:空间T（I）和空间T（I）都同胚于可分的Hilbert空间（?）2.这个结果比Kolyada等人的结果更加准确.并且我们得出了两个推论:存在一个同胚g:C（I）-→I×（?）2使得g（T（I））={0}×（?）2;对于T（I）的任意开覆盖U,存在一个同胚h:T（I）→T（I）使得(idT（I）,h)（?）U,即对任意的f∈T（I）,存在U∈U使得f,h（f）∈U.