自20世纪60年代以来,在地球物理,生命科学,材料科学,模式识别,遥感技术,信号图像处理,工业控制,乃至经济决策等众多的科学技术领域中,都提出了“由效果,表现(输出)反求原因,原像(输入)”的反问题,我们把它们通称为“数学物理反问题”.由于绝大多数的反问题无法解析求解,数值方法对反问题的研究起着根本性的作用.由于此类问题的理论和算法具有极大的挑战性,又有着广泛而重要的应用背景,因此吸引了许多学者从事该项研究.近三十年来,数学物理反问题是应用数学中发展和成长最快的领域之一.反问题的研究内容非常广泛,本文将着重研究三种反问题的数值解法. 1)拉普拉斯变换的数值反演.对于这种情况,我们关心的是光滑的解. 2)第一类Fredholm积分方程的分段常数解的数值解法,这是一个线性的不适定问题.3) Robin反问题的数值解法,我们考虑Robin系数为分段常数的情形,这是一个非线性的不适定问题.本文分为四章,主要内容如下:第一章将介绍反问题的一些基础知识,包括问题的适定与不适定等基本概念,并对第一类算子方程(特别是第一类积分方程)的求解方法作简要的叙述.介绍了正则化方法的原理,正则算子的构造,正则解的误差估计和正则化参数的确定方法.本章最后将介绍一些关于Robin反问题的背景知识和基本理论.在第二章,我们提出了拉普拉斯变换反演的一种基于高阶数值积分的算法.通过选择适当的求积方法和样本点,得到误差足够小的离散方程组.再对该线性方程组引进正则化算子以控制解的光滑性,并对正则化后的问题选定适当的数值解法,我们得到一个高精度的数值方法.数值结果表明,利用该章提出的算法来对拉普拉斯变换反演进行近似,可以得到非常精确的数值结果.在第三章,我们考虑第一类Freldholm积分方程的分段常数解的数值方法.我们假定解取k不同的值,并分别就解的取值给定和待定两种情况建立了修正的Tikhonov–TV正则化方法.我们对Tikhonov–TV泛函用二次泛函进行逼近,从而得到修正牛顿法.数值结果表明:在分段值的数目和分段的数量比较小时,通过本章提出的数值方法可以取得比较好的结果,可以比较准确的找出断点位置和各段的取值.在第四章,我们将讨论Robin系数为分段常数的Robin反问题的数值解法,这是一个非线性的反问题.我们的方法建立在[ F. Lin and W. Fang,Inverse Problems, 21 (2005), pp. 1757–1772]的基础上:先把该问题转化为边界积分方程问题,再引进一个新的函数把问题线性化.与第三章相似,我们考虑两种情况.第一种情况是已知解有k个不同的取值{c1,c2,...,ck}且ci (i =1,2,...,k)已给定.对于这种情况,我们把这个信息加入到Tikhonov泛函中,建立变形-Modica–Mortola-泛函(简称变形-MM-泛函),然后考虑该泛函的正定的二次逼近,从而得到修正牛顿法.第二个情况是只知道Robin系数是分段常数及其上界.对于这种情况,我们采用Tikhonov–TV正则化方法.类似地,我们考虑Tikhonov–TV泛函的正定的二次逼近,然后用系列二次规划方法求解该问题.数值结果表明,应用这一章提出的算法,我们可以较好地估计分段常数Robin系数.