所谓灰色神经网络模型就是将灰色系统方法与神经网络方法通过有效的途径有机地结合起来，对复杂的不确定性问题进行求解所建立的模型。灰色系统是指信息不完全、不确定的系统，灰色问题是指结构、特征、参数等信息不完备的问题。而神经网络具有并行计算，分布式信息存储，容错能力强，自适应学习功能等优点，在处理复杂的人工问题上显示出极优越的地位。通过对灰色系统和神经网络的研究，发现灰色系统和神经网络可以作为数值化的函数估计器，两种方法各有所长。把两者结合起来，建立一种兼有两者优点的方法——灰色神经网络模型，利用这种方法求解灰色问题时，与神经网络方法相比，计算量小，在少样本情况下也可达到较高精度，与灰色系统相比，计算精度高，且误差可控。灰色神经网络建模的基本原理是按照灰色系统建模的宗旨，将原始数据的序列建成微分方程模型，由于信息时区内出现空集（即不包括信息的定时区），因此只能按近似的微分方程条件建立具有不完全确定性的灰微分方程，而在实际应用中难以直接使用灰色微分方程，因此要对灰微分方程进行白化。为此，构造一个BP神经网络对灰微分方程的灰参数进行白化，在构造BP网络中考虑灰微分方程的参数，使其能够包含在网络中，也就是把灰微分方程对应的时间响应函数映射到BP网络中。然后，从灰色系统己知的数据中提取样本，对BP网络进行训练，当BP网络收敛时，可从中提取出白化的灰微分方程参数，这样就可得到满足一定精度的确定的微分方程，实现系统的连续建模。按上述的原理，灰色神经网络模型建立的重要基础是灰色系统与神经网络的基本理论，重点是灰色系统建模与误差反传播（BP）网络算法的理论。本文在这样理论基础上，对现有一阶灰色神经网络模型GNNM（1,1）做了进一步的改进和完善。利用灰色微分方程中的最小二乘估计参数：进而得到灰色神经网络初始的权值及阈值，这样使初始的权值和阈值更接近准确值，克服了以往BP网络中初始权值的随机性和不确定性，减少了网络的训练次数，提高了网络收敛速度和输出的精度，为避免网络训练陷入局部极小值也起到了重要的作用。并且，在每次修正权值时加入动量项，形式为： <WP=53> 同时，采取逐渐减小学习速率的方法，形式为： 这些方法避免了由于学习速率过大或过小而产生的网络收敛过程不稳定，从而加快网络的收敛速度，减少训练次数。在一阶灰色神经网络模型GNNM（1,1）的基础上，本文建立了三阶灰色神经网络模型GNNM（3,1），其映射出的网络结构图如图1 。与一阶和二阶的灰色神经网络模型相比较，本文建立的三阶灰色神经网络模型GNNM（3,1）在求解过程中有三个特征根，增加了时间响应函数的指数分量，因此不仅可以反映单调的情形，也可以反映非单调的或振荡的动态过程。所以，对于实际问题而言，此模型更具有实用价值。 -1 LA LB LC LD图1 映射出的GNNM（3，1）神经网络结构为便于模型的计算和实际应用，推导出GNNM（1,1）和GNNM（3,1）两种模型算法理论的步骤，并在Microsoft Visual C++6.0的环境下用程序实现。对于本文中的灰色神经网络模型有两种预测方法，一种是直接使用训练后的网络对未来的情况进行预测，另一种是从训练后的网络中提取出灰色微分方程中的参数，将参数代回到灰色微分方程对应的时间响应函数，然后进行预测。虽然这两种方法在理论上是等价的，但从实际的算例看出，前者计算量大，因为要有一定的精度要求，所以会使误差增大，<WP=54>故在计算时，采用后一种方法。最后，将这本文中的两种灰色神经网络模型应用到复杂非线性预测的实际问题当中。以文献[10]中的实际问题为例，利用本文中的GNNM（1,1）模型对注水管道腐蚀速率进行模拟和预测，得出的结果与文献[10]中的五种方法的结果进行比较；然后，再以文献[21]中的实际问题为例，利用本文中建立的GNNM（3,1）模型对我国在学研究生数量的变化趋势进行模拟和预测，预测结果与灰色模型GM（3,1）的结果进行比较。从比较结果看出，本文的灰色神经网络方法兼有灰色系统和神经网络两者的优点，与神经网络方法相比，网络收敛速度快，计算量小，特别是在少样本情况下也可达到较高精度，与灰色系统相比，计算精度高，且误差可控，预测结果与实际情况相基本吻合。因此，本文中的灰色神经网络模型GNNM（1,1）和GNNM（3,1）具有有效性和很好的实用价值。