中世纪至文艺复兴时期的数学家在开方时利用分数来估量不尽根,并发展出有效的迭代算法,是这一时期特殊且具有代表性的算法,其原理是二项式展开。本文选取这一时期研究方根分数近似算法方面具有代表性的三位数学家的著作为主要研究内容:斐波那契(L.Fibonacci,1175-1250)的《计算之书》(Liber Abaci,1202),卡尔达诺(G.Cardano,1501-1576)的《算术实践与个体测量》(Practica arithmetice et mensurandi.singularis,1539),以及克拉维乌斯(C.Clavius,1538-1612)的《算术实践概要》(Epitome Arithmeticae Practicae,1583)。在与导师合作首次完整翻译了卡尔达诺和克拉维乌斯现存拉丁版著作中分数近似算法相关内容,并研读《计算之书》英文版与中文版相关部分的基础上,结合海伦(Heron of Alexandria,公元 62 年左右)、塞翁(Theon of Alexandria,c.335-c.405)早期方根分数近似算法的解读,从算法的程序、本源和本质对比分析了这三者的方根分数近似算法,并结合其整数开方部分探讨了三者整体开方算法的优劣,得到以下结论:1.平方根分数近似算法方面,斐波那契和卡尔达诺的算法程序一致,但在明确性和统一性方面后者优于前者,而克拉维乌斯的算法虽然近似速度不如前两人,但其运算过程更为简洁,在算法复杂性上优于前两者。2.斐波那契和卡尔达诺立方根分数近似算法中后者比前者算法更明确,近似速度更快,且逼近方向一致迭代性更好。3.斐波那契的平方根分数近似法,卡尔达诺的方根分数近似法,以及克拉维乌斯平方根分数近似法的第二种算法,其本质都是牛顿切线法。4.斐波那契、卡尔达诺以及克拉维乌斯的方根分数近似算法其算法本源可能都来自于古希腊,并且在一定程度上都受到印度-阿拉伯算术的影响。通过本文可以看出不同时代背景下的数学家推动了方根分数近似算法的进步,并且体现了他们对于“什么是更好的开方算法”这一数学问题的不同思考和理解。