【摘 要】
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设y ≥ 2为实数,如果n的最大素因子小于等于y,则称n为y-光滑数.光滑数是数论的一个重要分支,而有关光滑数的加性问题是加性数论中一个重要的研究对象.本文主要研究光滑数的加
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设y ≥ 2为实数,如果n的最大素因子小于等于y,则称n为y-光滑数.光滑数是数论的一个重要分支,而有关光滑数的加性问题是加性数论中一个重要的研究对象.本文主要研究光滑数的加性问题,首先在经典加性数论中,Walfisz研究了表整数n有素数与无平方因子之和组成的个数的渐近公式,Romanoff研究了表整数n由素数与a的k次幂之和组成的个数的下界.在此基础上本文研究光滑数中类似的Romanoff定理和Walfisz定理,即本文主要研究两个问题,其一为表整数由光滑数与无平方因子之和组成的个数的渐近公式,可以表示为光滑数的个数与无平方因子的密度的积乘以一个常数.其二为整数由光滑数与a的k次幂之和组成的个数的下界,大于等于Cp(u)2/5+o(ε),C为常数,p(u)≤ 1为Dickman函数.在证明问题一时,我们借助在各种限制条件下光滑数的分布估计在算术级数中的应用以及Mobius函数的性质.问题二借助在多项式序列{Q(n)}中确定y-光滑数个数的上界及柯西不等式,求出该问题的下界.另外借助Martin猜想,改进了此下界.光滑数的加性问题是哥德巴赫猜想和华林问题的一个延伸,丰富了加性数论的内容,促进了数论方面加性问题的推广,它在几何,概率等问题的研究中也有重要的作用.
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