图的正则覆盖理论是代数图论和拓扑图论中一种非常重要的工具和方法.近年来,这种方法被大量的应用于对称图和对称地图的构造中.自从Hofmeis-ter于1988年得到了连通图双层覆盖的计数,图的正则覆盖计数问题就引起了国内外学者的广泛关注.另一方面,地图计数与亏格分布一直以来都是拓扑图论的核心研究内容之一,国内外学者也在此问题上得到了丰富的结果.因此基于这两方面内容,本文主要致力于研究以下三个问题:在给定覆盖变换群下的图正则覆盖计数问题,地图计数尤其是Cayley地图的亏格分布以及图的有向嵌入问题,一类群下的正则t-平衡Cayley地图的分类问题.目前这些方面的研究在国际上已成为研究群、图、地图等不同数学分支交叉领域一个较热的课题.我们力求紧跟国际最新进展,解决一些相关问题.本文的结构如下:第一章是绪论部分,其中第一节主要介绍了图的正则覆盖计数与地图亏格分布的研究背景,第二节给出了本文用到的相关概念和知识,第三节为本文的结构.第二章,首先给出了循环群的Z2-扩张的分类,然后利用图正则覆盖计数公式得到了覆盖变换群是循环群Z2n-1的Z2-扩张的图正则覆盖计数公式,并由此得到了覆盖变换群是任意循环群的Z2-扩张的图正则覆盖计数公式.最后确定了覆盖变换群是广义二面体群或广义双循环群的图正则覆盖计数公式.第三章,给出了任意循环群的Zp-扩张（p为奇素数）的分类,并由此得到了覆盖变换群是任意循环群的Zp-扩张（p为奇素数）的图正则覆盖计数公式.第四章,首先给出计算Cayley地图亏格的公式,其次利用此公式计算了网络中几类比较著名的图类的Cayley地图亏格多项式.第一节得到了星图、冒泡排序图、超立方体的Cayley地图亏格多项式,第二节得到了交错群网络的Cayley地图亏格多项式,第三节给出了多维环面的Cayley地图亏格多项式.第五章,基于有向嵌入、Steiner三元系和电流图的概念和性质以及前人的结果,利用电流图的方法证明了顶点为n的竞赛图,当且仅当n ≡ 3或7（mod 12）时,可有向嵌入到亏格为（?）的可定向曲面.这个结果部分回答了Bonnington等人在[J.Combin.Theory Ser.B,2002（85）:1-20]给出的下列问题:哪些顶点为n的竞赛图可有向嵌入到亏格为（?）的可定向曲面,即Kn的亏格.第六章,基于正则Cayley地图的性质以及已知的结果,得到了两个二面体群直积上的正则t-平衡Cayley地图分类的部分结果.最后一章总结了本文的结果并提出了进一步研究的问题.