【摘 要】
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本文主要研究非线性反应扩散方程的保结构差分法及其理论分析。本文共五章,主要研究工作可概括如下:第一章,介绍了两类非线性反应扩散方程的主要问题、相关背景、本文的创新点以及记号与主要引理。第二章,对二维Fisher-KPP方程的初边值问题建立了加权保结构显式差分方法。运用能量分析法证明了,当网格步长和参数?,p,?满足一定条件时,差分解具有保正性、保界性和保单调性等一系列数学性质,且在无穷范数意义下收
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本文主要研究非线性反应扩散方程的保结构差分法及其理论分析。本文共五章,主要研究工作可概括如下:第一章,介绍了两类非线性反应扩散方程的主要问题、相关背景、本文的创新点以及记号与主要引理。第二章,对二维Fisher-KPP方程的初边值问题建立了加权保结构显式差分方法。运用能量分析法证明了,当网格步长和参数?,p,?满足一定条件时,差分解具有保正性、保界性和保单调性等一系列数学性质,且在无穷范数意义下收敛阶为O（?（10）hx~2（10）hy~2）.然后,依据差分解的渐近展式,建立了一类Richardson外推法,获得了收敛阶为O（?~2（10）hx~4（10）hy~4）的外推解,提高了计算效率。最后,数值实验表明,数值结果与理论结果相吻合。值得提及的是运用本章构造的Richardson外推法无需对时、空网格比增加额外的条件。第三章,利用Vieta’s定理对二维Fisher-KPP方程的初边值问题构造了无条件保结构显式差分方法。运用能量分析法证明了,差分解无条件具有保正性、保界性和保单调性等性质,且在无穷范数意义下有O（?（10）?/hx~2（10）?/hy~2（10）hx~2（10）hy~2）的收敛阶。最后数值实验表明了算法的有效性和正确性。第四章,将能量不变二次化方法（IEQM）和交替方向隐式（ADI）方法结合,对二维Allen-Cahn方程建立了保能量耗散的ADI方法。运用能量分析法证明了,在一定的时空步长约束下,数值解在H~1-范数意义下收敛阶为O（?~2（10）hx~2（10）hy~2）,且该方法在离散意义下保持能量耗散。最后,数值结果证实了算法的正确性。第五章对全文进行了总结和展望。
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