概率极限理论的中心研究课题是随机变量序列的收敛性及随机变量和的强大数定律，要想得到更好的性质通常的方法是运用概率不等式进行证明.　　 为了研究随机变量收敛性的问题，许多学者给出了经典的不等式，例如Hájek和Rényi (1955) 给出一个重要的不等式，后人把此不等式一步步推广，归纳出一个Hájek-Rényi 型不等式，得到广泛的研究和应用.近期，Prakasa Rao (2000)用Hájek-Rényi不等式证明了相依序列的收敛性问题，Sung (2008)把Hájek-Rényi不等式进一步推广，并给出更加广泛的应用，其结果优于 Prakasa Rao (2000) 结果. 但是从证明中我们发现当中出现了系数上的错误.　　 Chow (1960) 证明了下鞅的一个极大值不等式，它包含了 Hájek-Rényi不等式. Christofides (2000) 证明了下鞅的极大值不等式可以推广到弱鞅的情形，Wang (2004)又证明了PA 序列和更广的弱鞅序列的Doob不等式. 近期，Hu等(2009) 用另外的方法给出了一个Hájek-Rényi 型不等式对于PA 序列，此结果包含了 Sung (2008)的结论，并且给出收敛速度和上确界积分有限.另外指出 Sung(2008)在证明中出现的一些问题.　　 通常情况下,大数定律通常是在阶矩时给出的，而本文首先仅在一阶矩有限时给出关于弱鞅的不等式同时还给出弱鞅和 PA 序列的强大数律和强收敛速度.再从概率不等式出发,在二阶矩限制条件下,得到一个随机变量序列的Hájek-Rényi 型不等式,并应用此不等式证明随机变量序列部分和的几乎处处收敛性,同时给出随机变量序列部分和的推广性质和收敛速度,可以证明本文的结论优于Sung (2008)的主要结论. 应用到随机变量序列收敛性的证明,从而推广了随机变量序列的一些收敛性质.