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E．Calabi引入的Extremal度量是近年来复几何中的一个重要对象．陈秀雄在推广经典的单值化定理的过程中，将它的研究推广到K曲面上，也就是带有奇点的黎曼面。我们这里所研究的K曲面上的HCMU度量，是extremal度量的一种非常重要的特殊情形，它有许多重要的几何性质。陈和吴在[6]中从内部结构着手，研究HCMU度量的组成单元，并由此得到在球面情形下的存在定理。本文继续研究HCMU度量在一般K曲面上的存在性问题，我们将从两方面论述这个问题．第一章介绍HCMU度量的定义及基本性质，并主要研究了它的基本组成单元football的的方程，我们显示的写出了它的解．第二章中我们采取构造性方法，给出高亏格K曲面上的一个存在性定理。第三章则是通过研究奇点周围奇性的性质，详细阐述了在球面和环面上任意HCMU度量的存在性的一个充要条件，我们将显示的给出这个条件．