机器学习和数值方法相结合的偏微分方程正反问题的求解

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偏微分方程(PDE)在各学科研究及工程应用中具有重要意义,我们可以根据观察到的现象以及对于问题的经验,建立相关的偏微分方程模型来描述我们感兴趣的现象,与此同时,再对相关的模型进行数学上的分析或是数值上的离散逼近.近些年来,随着可采集实验数据、各类其他应用中的数据的增多,以及计算能力的发展,数据密集型研究,成为实验、理论、计算之外的科学探索新范式.利用数据来辅助过去基于经验和理论推导的建模,甚至利用数据尽可能的发掘一些规律,成为富有意义而又极具潜力的新方法.当PDE的形式已知而仅有某些参数未知时,我们可以利用微分方程系统辨识和经典的PDE反问题中的许多方法反演这些参数.然而,对于许多复杂系统,例如神经科学、金融、生命科学中的许多问题,我们难以完整的建立较准确的PDE表达式,并需要大量的引入经验参数/经验公式.一个自然的问题是,我们能否从实际采集到的各类数据中同时学习到PDE的形式和参数?事实上,当PDE的形式已知时,经典的反问题求解方法,往往在优化迭代(需反复求解正问题)求解待定参数时使用固定的正问题求解格式.然而,当PDE的形式未知时,我们要从数据中学习PDE的形式和参数,首先需要解决的问题就是:在正问题形式未知的时候,如何有一个合适的正问题离散方式?为此,本文首先提出,将PDE的时间演进看做神经网络前传或马尔科夫决策过程,在求解反问题的同时学习正问题离散方式,并分三步[100,117,122]验证了这一思路的可行性.本文结合新兴的机器学习算法,例如深度学习、强化学习,探索一种对模型结构的假设较少,而又能充分利用时空数据的含时偏微分方程系统辨识方法.本文在讨论系统辨识/反问题时,我们将侧重于建立可解释且具有长时间预测能力的模型.在建立优化问题时,与单步预测误差(one-step-ahead prediction error)相对应的,我们希望采用多步累积预测误差来学习我们的模型.本文主要分为以下三部分展开讨论.用卷积代替空间差分,将动力系统的时间离散展开为深度神经网络.偏微分方程正问题的数值离散方式的好坏,将直接影响到反问题的求解.注意到,深度学习中广为使用的卷积神经网络与PDE的离散格式具有天然的联系:对PDE在规则网格上的差分离散,实际上可以写作一种卷积运算.作为一个概念验证,我们设计了针对对流扩散方程的深度网络PDE-Net[100,101]:网络的前传对应PDE数值格式中的时间演进,网络的卷积核将被约束在适当的空间中,使得不同卷积核对应不同的差分算子,学习卷积核就相当于学习差分离散,最后,我们采用分片多项式来逼近模型未知的部分.我们用PDE-Net去逼近PDE各时刻的解,于是,依据给定的数据求解偏微分方程反问题,即等价于求解这一逼近问题里PDE-Net参数最优值.数值结果表明,在这一框架下,我们不仅能对含噪声的数据有效的求解对流扩散方程反问题,也能直接使用学得的PDE-Net进行预测模拟.利用深度神经网络逼近复合函数的优势减弱关于模型的假设.这一部分,我们将进一步考虑模型类型未知的情形.为了能充分利用不同初始值下的时空数据,我们继续沿用PDE-Net将PDE时间积分展开为网络前传的整体框架.这里我们侧重于"发现"可解释模型,也就是逼近未知形式的右端项的同时,提取模型的一种简洁的表达.为此,我们采用EQL/EQL÷系统辨识方法并加以简化,设计了深度符号网络Sym Net用以逼近未知模型的右端项.与稀疏非线性系统辨识方法SINDy中"构建字典+稀疏优化"的思路完全不同的是,Sym Net无需存储字典中所有待定项,可以节省大量存储空间,从而使得我们可以在PDE-Net中嵌入Sym Net.此外,为了更好的处理方程中可能存在的对流项,我们在前传网络中采用了伪迎风策略.我们将这个神经网络称为PDE-Net 2.0[117],并在一个关于未知模型的统一假设下,对二维的热方程,Burgers’方程,带有非线性源项的对流扩散方程进行了数值实验.数值结果显示,我们学出来的PDE-Net 2.0不仅可以作为潜在PDE的合适的模拟器,也可从中提取出模型的一个较紧凑的表达式.从数据中学习求解正问题的数值格式.此前,我们将PDE数值格式的时间演进视为神经网络PDE-Net的前传,这里,我们将扩展这一概念,将其看做是马尔科夫决策过程(Markov Decision Process,MDP).学一个合适的数值格式,也就成为某种闭环控制问题.这个扩展使得我们除了使用卷积代替差分之外,可以考虑学习更一般的离散格式.结合强化学习对于离散/连续优化问题的处理方式,我们在已知PDE模型的情形下,对一维守恒律方程探讨了一种通过数据学习离散格式的方法[122].
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